Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10913
2019-10-19 
Покажите, что электрический потенциал $\phi$ обладает следующим интересным свойством: среднее значение $\bar{ \phi}$ на воображаемой сферической поверхности равно значению $\phi(0)$ в центре этой сферы при условии, что внутри сферы нет никаких зарядов. В каких задачах, по вашему мнению, удобно воспользоваться этим свойством?
Решение:
Если внутри сферы нет зарядов, то
$\int \vec{E} \cdot d \vec{S} = 0$,
т. е.
$\int \nabla_{R} \phi dS = 0$.
Перепишем последнее уравнение по-другому:
$\frac{d}{dR} \int \phi dS = 0$
или
$\int \phi dS = const$ для всех $R \neq 0$.
Итак, средние значения потенциала по сферическим поверхностям разных радиусрв равны между собой. Вместе с тем среднее по поверхности, близкой к началу координат, равно $\phi(0)$. Итак,
$\bar{ \phi} = \phi(0)$.
Покажите, что электрический потенциал $\phi$ обладает следующим интересным свойством: среднее значение $\bar{ \phi}$ на воображаемой сферической поверхности равно значению $\phi(0)$ в центре этой сферы при условии, что внутри сферы нет никаких зарядов. В каких задачах, по вашему мнению, удобно воспользоваться этим свойством?
Решение:
Если внутри сферы нет зарядов, то
$\int \vec{E} \cdot d \vec{S} = 0$,
т. е.
$\int \nabla_{R} \phi dS = 0$.
Перепишем последнее уравнение по-другому:
$\frac{d}{dR} \int \phi dS = 0$
или
$\int \phi dS = const$ для всех $R \neq 0$.
Итак, средние значения потенциала по сферическим поверхностям разных радиусрв равны между собой. Вместе с тем среднее по поверхности, близкой к началу координат, равно $\phi(0)$. Итак,
$\bar{ \phi} = \phi(0)$.
