Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10912
2019-10-19 
Вычислите напряженность электрического поля в точке Р, расположенной на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса $R$ на расстоянии $r$ от его центра.
Решение:
Найдем потенциал $\phi$ в точке Р, расположенной на оси диска на расстоянии $r$ от его центра, разбив диск на кольца шириной $d \rho$ и средним радиусом $\rho$. Так как отдельные элементы каждого такого кольца одинаково удалены от точки Р на расстояние $\sqrt{ \rho^{2} + r^{2}}$, то все они дадут одинаковый вклад в $\phi$. Интегрируя по кольцам, т. е. по $\rho$ от 0 до $R$, находим
$\phi = \frac{ \sigma }{2 \pi \epsilon_{0} } \int_{0}^{R} \frac{2 \pi \rho d \rho}{ \sqrt{ \rho^{2} + r^{2} } } = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} } [ \sqrt{r^{2} + R^{2} } - r ]$.
Отсюда напряженность электрического поля $\vec{E}$ по величине равна
$E = - \frac{ \partial \phi}{ \partial r} = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} } \left (1 - \frac{r}{ \sqrt{r^{2} + R^{2} } } \right ) = \frac{ \sigma }{4 \pi \epsilon_{0} } \Omega$
(где $\Omega$ - телесный угол, под которым виден диск из точки Р) и направлена вдоль оси диска.
Вычислите напряженность электрического поля в точке Р, расположенной на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса $R$ на расстоянии $r$ от его центра.
Решение:
Найдем потенциал $\phi$ в точке Р, расположенной на оси диска на расстоянии $r$ от его центра, разбив диск на кольца шириной $d \rho$ и средним радиусом $\rho$. Так как отдельные элементы каждого такого кольца одинаково удалены от точки Р на расстояние $\sqrt{ \rho^{2} + r^{2}}$, то все они дадут одинаковый вклад в $\phi$. Интегрируя по кольцам, т. е. по $\rho$ от 0 до $R$, находим
$\phi = \frac{ \sigma }{2 \pi \epsilon_{0} } \int_{0}^{R} \frac{2 \pi \rho d \rho}{ \sqrt{ \rho^{2} + r^{2} } } = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_{0} } [ \sqrt{r^{2} + R^{2} } - r ]$.
Отсюда напряженность электрического поля $\vec{E}$ по величине равна
$E = - \frac{ \partial \phi}{ \partial r} = \frac{ \sigma }{2 \epsilon_{0} } \left (1 - \frac{r}{ \sqrt{r^{2} + R^{2} } } \right ) = \frac{ \sigma }{4 \pi \epsilon_{0} } \Omega$
(где $\Omega$ - телесный угол, под которым виден диск из точки Р) и направлена вдоль оси диска.
