Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10911
2019-10-19 
В поле неподвижного отрицательного точечного заряда, расположенного в начале координат, а также в однородном магнитном поле $B_{0}$, направленном в положительном направлении оси z, из точки $x = z = 0, y = a$ движется частица массы $m$ с положительным зарядом $q$ и малой скоростью $\vec{v} = v_{0} \vec{e}_{x}$.
а) При какой величине напряженности поля $B_{0}$ траектория частицы будет представлять собой окружность радиуса $a$ с центром в начале координат?
б) Объясните, почему в том случае, когда напряженность магнитного поля отличается от найденной, скорость частицы зависит только от ее расстояния до начала координат.
в) Схематически нарисуйте несколько витков траектории частицы, когда частица начинает свое движение из точки $x = z = 0, y = a$ с нулевой скоростью.
Решение:
а) Движение частицы будет происходить по окружности радиусом $a$ вокруг заряда $Q$, если сила Лоренца будет уравновешена центробежной силой
$\frac{qQ}{2 \pi \epsilon_{0}a^{2} } + qv_{0}B = \frac{mv_{0}^{2} }{a}$,
т.е. если
$B_{0} = \frac{c}{a^{2}qv_{0} } \left ( - \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} } + mv_{0}^{2}a \right )$.
б) Сила, с которой магнитное поле действует на частицу, всегда перпендикулярна ее скорости. Поэтому магнитное поле не производит работы над движущимся зарядом, и закон сохранения энергии имеет вид
$\frac{mv^{2}}{2} = E - U(r)$,
где $E$ - полная энергия, $U(r)$ - энергия электростатического взаимодействия. Отсюда видно, что скорость частицы есть функция только расстояния
$v(r) = \sqrt{ \frac{2}{m } \left ( E + \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} r } \right ) }$.
в) В этом случае полная энергия заряда $q$ равна $E = - Qq/ 4 \pi \epsilon_{0}a$ и, следовательно,
$v(r) = \sqrt{ \frac{qQ}{2 \pi \epsilon_{0} m } \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{a} \right ) }$. (1)
Начав в начальный момент «падать» на заряд $-Q$, частица $q$ будет отклонена полем так, как показано на рисунке. Из выражения (1) видно, что в точках окружности $r = a$ скорость частицы будет обращаться в нуль и будет вновь повторяться исходная ситуация.
В поле неподвижного отрицательного точечного заряда, расположенного в начале координат, а также в однородном магнитном поле $B_{0}$, направленном в положительном направлении оси z, из точки $x = z = 0, y = a$ движется частица массы $m$ с положительным зарядом $q$ и малой скоростью $\vec{v} = v_{0} \vec{e}_{x}$.
а) При какой величине напряженности поля $B_{0}$ траектория частицы будет представлять собой окружность радиуса $a$ с центром в начале координат?
б) Объясните, почему в том случае, когда напряженность магнитного поля отличается от найденной, скорость частицы зависит только от ее расстояния до начала координат.
в) Схематически нарисуйте несколько витков траектории частицы, когда частица начинает свое движение из точки $x = z = 0, y = a$ с нулевой скоростью.
Решение:
а) Движение частицы будет происходить по окружности радиусом $a$ вокруг заряда $Q$, если сила Лоренца будет уравновешена центробежной силой
$\frac{qQ}{2 \pi \epsilon_{0}a^{2} } + qv_{0}B = \frac{mv_{0}^{2} }{a}$,
т.е. если
$B_{0} = \frac{c}{a^{2}qv_{0} } \left ( - \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} } + mv_{0}^{2}a \right )$.
б) Сила, с которой магнитное поле действует на частицу, всегда перпендикулярна ее скорости. Поэтому магнитное поле не производит работы над движущимся зарядом, и закон сохранения энергии имеет вид
$\frac{mv^{2}}{2} = E - U(r)$,
где $E$ - полная энергия, $U(r)$ - энергия электростатического взаимодействия. Отсюда видно, что скорость частицы есть функция только расстояния
$v(r) = \sqrt{ \frac{2}{m } \left ( E + \frac{qQ}{4 \pi \epsilon_{0} r } \right ) }$.
в) В этом случае полная энергия заряда $q$ равна $E = - Qq/ 4 \pi \epsilon_{0}a$ и, следовательно,
$v(r) = \sqrt{ \frac{qQ}{2 \pi \epsilon_{0} m } \left ( \frac{1}{r} - \frac{1}{a} \right ) }$. (1)
Начав в начальный момент «падать» на заряд $-Q$, частица $q$ будет отклонена полем так, как показано на рисунке. Из выражения (1) видно, что в точках окружности $r = a$ скорость частицы будет обращаться в нуль и будет вновь повторяться исходная ситуация.
