Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10910
2019-10-19 
а) В некоторой области пространства создано постоянное однородное магнитное поле $B_{x} = 0, B_{y} = 0$ и $B_{z} = B_{0}$. Электрических полей и токов в этой области пространства нет. Из начала координат в положительном направлении оси х со скоростью $v$ вылетает частица массы $m$ с положительным зарядом $q$. Опишите траекторию частицы в переменных $B_{0}, m, v$ и $q$ (предполагая, что $v/c \ll 1$).
б) Предположите, что $B_{x} = 0, B_{y} = 0$, а $B_{z} = B_{0} + ax$, где $ax$ всюду мало по сравнению с $B_{0}$. Опишите качественно траекторию частицы.
в) Покажите, что магнитное поле такого вида не удовлетворяет уравнениям Максвелла, если оно замкнуто в конечном объеме или, как предполагалось выше, в объеме отсутствуют токи или электрическое поле.
Решение:
а) Введя обозначение $\omega = qB_{0}/m$, запишем уравнение движения $m \dot{v} = q ( \vec{v} \times \vec{B})$ в компонентах $\dot{v}_{x} = \omega v_{y}, \dot{v}_{y} = - \omega v_{x}, v_{z} = 0$.
Умножая второе уравнение на мнимую единицу и складывай е первым, находим
$\frac{d}{dt} (v_{x} + iv_{y} ) = - i \omega (v_{x} + iv_{y} )$,
откуда
$v_{x} + i v_{y} = ae^{ - i \omega t}$,
причем $a = v_{0}$ (из начального условия $v_{x}|_{t = 0} = v_{0}, v_{y}|_{t = 0} = 0$).
Интегрируя далее и разделяя вещественную и мнимую части, находим
$x = x_{0} + \frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega t, y = y_{0} + \frac{v_{0} }{ \omega} \cos \omega t, z=0$.
Удовлетворяя начальным условиям
$x|_{t=0} = 0, y|_{t = 0} = 0$,
окончательно находим, что частица движется по окружности (фиг.) в плоскости ху, центр которой находится в точке ($0, - v_{0}/ \omega$), частота вращения равна $\omega = qB/m$:
$x = \frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega t, y = \frac{v_{0} }{ \omega} ( \cos \omega t - 1), z = 0$.
б) В магнитном поле $B_{x} = 0, B_{y} = 0, B_{z} = B_{0} + ax$ частица полетит по примерно круговой орбите с радиусом $r = mv_{0}/qB$. Однако в области более сильного поля радиус кривизны траектории будет несколько меньше. При этом орбита уже не будет замкнутой окружностью, а возникнет дрейф, подобный изображенному на фиг.
в) Магнитное поле $B_{x} = 0, B_{y} = 0, B_{z} = B_{0} + ax$ несовместимо с тем уравнением Максвелла, согласно которому циркуляция вектора $\vec{B}$ по замкнутому контуру в отсутствие электрического поля и токов (в данной задаче $\vec{E} = 0$ и $\vec{j} = 0$) должна равняться нулю. Действительно, возьмем замкнутый контур С в плоскости $x_{0}$ в форме прямоугольной рамки со сторонами $l$ и $L$ и вычислим циркуляцию $\vec{B}$ вдоль этого контура. Несложные вычисления приводят к результату $\oint \vec{B} dl = - a \cdot L \cdot l \neq 0$ в противоречии с уравнением Максвелла.
а) В некоторой области пространства создано постоянное однородное магнитное поле $B_{x} = 0, B_{y} = 0$ и $B_{z} = B_{0}$. Электрических полей и токов в этой области пространства нет. Из начала координат в положительном направлении оси х со скоростью $v$ вылетает частица массы $m$ с положительным зарядом $q$. Опишите траекторию частицы в переменных $B_{0}, m, v$ и $q$ (предполагая, что $v/c \ll 1$).
б) Предположите, что $B_{x} = 0, B_{y} = 0$, а $B_{z} = B_{0} + ax$, где $ax$ всюду мало по сравнению с $B_{0}$. Опишите качественно траекторию частицы.
в) Покажите, что магнитное поле такого вида не удовлетворяет уравнениям Максвелла, если оно замкнуто в конечном объеме или, как предполагалось выше, в объеме отсутствуют токи или электрическое поле.
Решение:
а) Введя обозначение $\omega = qB_{0}/m$, запишем уравнение движения $m \dot{v} = q ( \vec{v} \times \vec{B})$ в компонентах $\dot{v}_{x} = \omega v_{y}, \dot{v}_{y} = - \omega v_{x}, v_{z} = 0$.
Умножая второе уравнение на мнимую единицу и складывай е первым, находим
$\frac{d}{dt} (v_{x} + iv_{y} ) = - i \omega (v_{x} + iv_{y} )$,
откуда
$v_{x} + i v_{y} = ae^{ - i \omega t}$,
причем $a = v_{0}$ (из начального условия $v_{x}|_{t = 0} = v_{0}, v_{y}|_{t = 0} = 0$).
Интегрируя далее и разделяя вещественную и мнимую части, находим
$x = x_{0} + \frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega t, y = y_{0} + \frac{v_{0} }{ \omega} \cos \omega t, z=0$.
Удовлетворяя начальным условиям
$x|_{t=0} = 0, y|_{t = 0} = 0$,
окончательно находим, что частица движется по окружности (фиг.) в плоскости ху, центр которой находится в точке ($0, - v_{0}/ \omega$), частота вращения равна $\omega = qB/m$:
$x = \frac{v_{0} }{ \omega} \sin \omega t, y = \frac{v_{0} }{ \omega} ( \cos \omega t - 1), z = 0$.
б) В магнитном поле $B_{x} = 0, B_{y} = 0, B_{z} = B_{0} + ax$ частица полетит по примерно круговой орбите с радиусом $r = mv_{0}/qB$. Однако в области более сильного поля радиус кривизны траектории будет несколько меньше. При этом орбита уже не будет замкнутой окружностью, а возникнет дрейф, подобный изображенному на фиг.
в) Магнитное поле $B_{x} = 0, B_{y} = 0, B_{z} = B_{0} + ax$ несовместимо с тем уравнением Максвелла, согласно которому циркуляция вектора $\vec{B}$ по замкнутому контуру в отсутствие электрического поля и токов (в данной задаче $\vec{E} = 0$ и $\vec{j} = 0$) должна равняться нулю. Действительно, возьмем замкнутый контур С в плоскости $x_{0}$ в форме прямоугольной рамки со сторонами $l$ и $L$ и вычислим циркуляцию $\vec{B}$ вдоль этого контура. Несложные вычисления приводят к результату $\oint \vec{B} dl = - a \cdot L \cdot l \neq 0$ в противоречии с уравнением Максвелла.
