Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10903
2019-10-12 
Однородная абсолютно гибкая струна линейной плотности $\sigma$ кг/м растянута с натяжением $T$. Сформулируйте волновое уравнение, описывающее поперечное смещение струны $y$, и найдите скорость распространения возмущения вдоль струны. Используйте предположение о том, что $\partial y/ \partial x \ll 1$ во всех точках в любой момент времени, и рассмотрите только плоские колебания струны. Отметим, что компонента натяжения струны в поперечном направлении очень близка к $T \partial y/ \partial x$.
Решение:
Рассмотрим участок струны длиной
$\Delta l = \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2} } = dx \sqrt{1 + \left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2} } \approx dx$
и напишем для него уравнение движения вдоль оси $y$. Очевидно, масса этого участка равна $\sigma dx$, а ускорение $d^{2}t/dt^{2}$. Равнодействующую сил, действующих на выделенный участок, найдем, спроектировав силы натяжения в точках $x$ и $x + dx$ на ось $y$. На концах отрезка эти проекции равны величине $T$, умноженной на синусы углов, которые составляют касательные к струне в этих точках с осью $x$. В силу малости углов синусы приближенно равны тангенсам этих углов, т. е. $dy/dx$. Следовательно, равнодействующая сила, действующая на участок струны и направленная в поперечном направлении, равна
$T \left . \frac{dy}{dx} \right |_{x + dx} - T \left . \frac{dy}{dx} \right |_{x} = Tdx \frac{d^{2}y }{dx^{2} }$.
Уравнение движения для выделенного участка струны запишется в виде
$\sigma dx \frac{d^{2}y }{dt^{2} } = Tdx \frac{dt^{2} }{dx^{2} }$.
Сокращая на $dx$ обе части получившегося уравнения и вводя обозначение $v^{2} = T/ \sigma$, находим искомое волновое уравнение
$\frac{d^{2}y}{dx^{2} } = \frac{1}{v^{2} } \frac{d^{2}y }{dt^{2} }$
Однородная абсолютно гибкая струна линейной плотности $\sigma$ кг/м растянута с натяжением $T$. Сформулируйте волновое уравнение, описывающее поперечное смещение струны $y$, и найдите скорость распространения возмущения вдоль струны. Используйте предположение о том, что $\partial y/ \partial x \ll 1$ во всех точках в любой момент времени, и рассмотрите только плоские колебания струны. Отметим, что компонента натяжения струны в поперечном направлении очень близка к $T \partial y/ \partial x$.
Решение:
Рассмотрим участок струны длиной
$\Delta l = \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2} } = dx \sqrt{1 + \left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2} } \approx dx$
и напишем для него уравнение движения вдоль оси $y$. Очевидно, масса этого участка равна $\sigma dx$, а ускорение $d^{2}t/dt^{2}$. Равнодействующую сил, действующих на выделенный участок, найдем, спроектировав силы натяжения в точках $x$ и $x + dx$ на ось $y$. На концах отрезка эти проекции равны величине $T$, умноженной на синусы углов, которые составляют касательные к струне в этих точках с осью $x$. В силу малости углов синусы приближенно равны тангенсам этих углов, т. е. $dy/dx$. Следовательно, равнодействующая сила, действующая на участок струны и направленная в поперечном направлении, равна
$T \left . \frac{dy}{dx} \right |_{x + dx} - T \left . \frac{dy}{dx} \right |_{x} = Tdx \frac{d^{2}y }{dx^{2} }$.
Уравнение движения для выделенного участка струны запишется в виде
$\sigma dx \frac{d^{2}y }{dt^{2} } = Tdx \frac{dt^{2} }{dx^{2} }$.
Сокращая на $dx$ обе части получившегося уравнения и вводя обозначение $v^{2} = T/ \sigma$, находим искомое волновое уравнение
$\frac{d^{2}y}{dx^{2} } = \frac{1}{v^{2} } \frac{d^{2}y }{dt^{2} }$
