Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10898
2019-10-12 
а) Используя термодинамические соображения, покажите, что если вещество при замерзании расширяется, то его температура замерзания должна уменьшаться с увеличением давления,
б) Рассчитайте самую низкую температуру льда на катке, при которой катание на коньках еще возможно.
Решение:
а) Если $L$ - скрытая теплота плавления, то
$\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(V_{L} - V_{G} ) }$,
где $V_{L}$ - объем 1 моля жидкости, $V_{G}$ - объем 1 моля вещества в твердом состоянии. Так как $L > 0$, то при $V_{G} > V_{L}$ (если вещество при замерзании расширяется) $dP/dT < 0$, или $dT/dP < 0$, т. е. температура замерзания должна понижаться с повышением давления.
б) Если пренебречь зависимостью величины $L$ от температуры и малой сжимаемостью жидкости и твердого тела (т. е. считать $V_{L}$ и $V_{G}$ не зависящими от давления), то уравнение Клапейрона-Клаузиуса можно проинтегрировать. Записав это уравнение в виде
$\frac{dT}{T} = \frac{V_{L} - V_{G} }{L} dP$,
найдем после интегрирования
$T = T_{0} e^{ \frac{P(V_{L} - V_{G})}{L}}$,
где $T_{0}$ - постоянная интегрирования. Определим $T_{0}$ из условия, что при нормальном давлении $P_{0} = 1 атм$ температура таяния льда равна $0^{ \circ} С$, т. е. $273^{ \circ} K$:
$T = 273^{ \circ} Ke^{ \frac{(P - P_{0} )(V_{L} - V_{G} )}{L} }$,
Подсчитаем далее примерное давление $P$, которое оказывает лезвие конька на лед. Длина конька примерно равна 40 см, а ширина лезвия 2 мм. При этом площадь лезвия конька оказывается равной 8 $см^{2}$. Принимая средний вес человека равным 80 кГ и считая, что этот вес распределен по площади одного конька, находим $\Delta P = P - P_{0} = 9 \cdot 10^{4} кГ/м^{2} = 8,8 ньютон/м^{2}$. Так как $\Delta V = V_{G} - V_{L} = 8 \cdot 10^{-5} м^{3}$ и $L = 334 дж/кГ$, то находим
$T \approx 273^{ \circ} К \left [ 1 + \frac{(P - P_{0} )(V_{L} - V_{G} )}{L} \right ]$,
или
$t^{ \circ } С = - 273 \frac{ \Delta P \Delta V}{L} = - 57^{ \circ} С$.
а) Используя термодинамические соображения, покажите, что если вещество при замерзании расширяется, то его температура замерзания должна уменьшаться с увеличением давления,
б) Рассчитайте самую низкую температуру льда на катке, при которой катание на коньках еще возможно.
Решение:
а) Если $L$ - скрытая теплота плавления, то
$\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T(V_{L} - V_{G} ) }$,
где $V_{L}$ - объем 1 моля жидкости, $V_{G}$ - объем 1 моля вещества в твердом состоянии. Так как $L > 0$, то при $V_{G} > V_{L}$ (если вещество при замерзании расширяется) $dP/dT < 0$, или $dT/dP < 0$, т. е. температура замерзания должна понижаться с повышением давления.
б) Если пренебречь зависимостью величины $L$ от температуры и малой сжимаемостью жидкости и твердого тела (т. е. считать $V_{L}$ и $V_{G}$ не зависящими от давления), то уравнение Клапейрона-Клаузиуса можно проинтегрировать. Записав это уравнение в виде
$\frac{dT}{T} = \frac{V_{L} - V_{G} }{L} dP$,
найдем после интегрирования
$T = T_{0} e^{ \frac{P(V_{L} - V_{G})}{L}}$,
где $T_{0}$ - постоянная интегрирования. Определим $T_{0}$ из условия, что при нормальном давлении $P_{0} = 1 атм$ температура таяния льда равна $0^{ \circ} С$, т. е. $273^{ \circ} K$:
$T = 273^{ \circ} Ke^{ \frac{(P - P_{0} )(V_{L} - V_{G} )}{L} }$,
Подсчитаем далее примерное давление $P$, которое оказывает лезвие конька на лед. Длина конька примерно равна 40 см, а ширина лезвия 2 мм. При этом площадь лезвия конька оказывается равной 8 $см^{2}$. Принимая средний вес человека равным 80 кГ и считая, что этот вес распределен по площади одного конька, находим $\Delta P = P - P_{0} = 9 \cdot 10^{4} кГ/м^{2} = 8,8 ньютон/м^{2}$. Так как $\Delta V = V_{G} - V_{L} = 8 \cdot 10^{-5} м^{3}$ и $L = 334 дж/кГ$, то находим
$T \approx 273^{ \circ} К \left [ 1 + \frac{(P - P_{0} )(V_{L} - V_{G} )}{L} \right ]$,
или
$t^{ \circ } С = - 273 \frac{ \Delta P \Delta V}{L} = - 57^{ \circ} С$.
