Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10881
2019-10-12 
Газ при нормальных давлении и температуре втекает со скоростью $v$ через гладкую трубку с постоянным поперечным сечением площадью $A$. Когда газ проходит через проволочную сетку, оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку, он нагревается. Приобретаемая мощность равна $q вт$. Из трубки газ вытекает со скоростью $v^{ \prime}$. Напишите уравнения, выражающие законы сохранения массы, энергии и импульса для случая, когда через трубку протекает воздух, а затем найдите:
а) $v^{ \prime}$,
б) конечную температуру $T$,
в) напор $F$ (основная характеристика реактивного двигателя).
Решение:
Законы сохранения массы, импульса и энергии требуют, чтобы потоки этих величин слева и справа от сетки равнялись друг другу.
Проще всего записать закон сохранения массы. Введем величину $j$ - плотность потока массы. При этом $jA$ равно массе газа, которая проходит через любое поперечное сечение трубы в единицу времени. Если $\rho$ и $\rho^{ \prime}$ - плотности газа перед и за сеткой, то, согласно закону сохранения массы.
$j = \rho v = \rho^{ \prime} v^{ \prime}$.
Найдем далее выражение для потока импульса. В газе, который как целое покоится, плотность потока импульса, очевидно, равна
$nm \langle v_{x}^{2} \rangle$,
где $n$ - число молекул в единице объема; $m$ - масса молекулы ($\rho = nm$), а усреднение производится с помощью распределения частиц по скоростям. Действительно, импульс одной молекулы в направлении к сетке (выберем его за направление оси $x$) равен $mv_{x}$, а поток импульса $mv_{x}^{2}$. Если умножить $mv_{x}^{2}$ на $n$, то получаемая при этом величина будет равна плотности потока импульса в направлении $x$, обусловленная всеми частицами, компонента скорости которых равна $v_{x}$. Так как частицы в газе распределены по скоростям, величину $nmv_{x}^{2}$ следует усреднить по всем скоростям. При этом получаем естественный результат: плотность потока импульса равна $P$ - давлению в газе. Если же газ как целое движется со скоростью $v$ в направлении оси $x$, то простое обобщение формулы для плотности потока импульса приводит к выражению
$nm \langle (v_{x} + x)^{2} \rangle = P + \rho v^{2} = P + jv$.
Здесь мы использовали тот факт, что $\langle v_{x} \rangle = 0$.
Учтем далее то обстоятельство, что по условию задачи сетка практически не оказывает сопротивления потоку газа, т. е. не происходит повышения давления газа перед сеткой. Это, конечно, не означает, что молекулы газа не обмениваются импульсом с сеткой. Наоборот, именно переданный газом сетке импульс в единицу времени определяет силу тяги, развиваемую трубой.
Обозначим через $r$ импульс, передаваемый газом единичной площадке сетки в единицу времени, так что величина $F = A \cdot r$ будет равна силе тяги трубы. Полагая в соответствии с условием задачи $P = P^{ \prime}$, запишем закон сохранения импульса в виде
$j \cdot v + r = j \cdot v^{ \prime}$.
Рассуждая аналогично, находим далее выражение для плотности потока энергии
$nm \langle \left [ \frac{(v_{x} + v )^{2} }{2} + \frac{v_{y}^{2} }{2} + \frac{v_{z}^{2} }{2} \right ](v_{x} + v ) \rangle = \frac{ \rho}{2} \langle (v_{x} + v )^{3} \rangle + \frac{ \rho }{2} \langle (v_{y}^{2} + v_{z}^{2} )v_{x} \rangle + \frac{ \rho v}{2} \langle v_{y}^{2} + v_{z}^{2} \rangle$.
В силу того что
$\langle (v_{y}^{2} + v_{z}^{2} )v_{x} \rangle = 0, \langle v_{x}^{2} \rangle = 0$,
$\langle v_{y}^{2} + v_{z}^{2} \rangle = 2 \langle v_{x}^{2} \rangle$,
имеем
$\frac{2 \rho v}{2} \langle v_{x}^{2} \rangle + \frac{ \rho v^{3} }{2} + \frac{ \rho v}{2} \langle v_{}^{2} \rangle = \left ( \frac{3}{2} \frac{P}{ \rho} + \frac{v^{2} }{2} + \frac{P}{ \rho} \right )j$.
Внимательно вглядевшись в наши выкладки, мы видим, что слагаемое $3/2 P/ \rho$ есть не что иное, как $U$ - энергия единицы массы газа. Множитель 3/2 появляется лишь в рассматривавшейся выше модели одноатомного газа. В общем случае его нужно заменить на $1/( \gamma - 1)$, где $\gamma$ - газовая постоянная. Если это сделать, то закон сохранения энергии в данной задаче запишется в виде
$\left ( \frac{ \gamma P}{( \gamma - 1) \rho} + \frac{v^{2} }{2} \right )j - \left ( \frac{ \gamma P}{( \gamma - 1) \rho^{ \prime} } + \frac{v^{ \prime 2} }{2} \right ) j = - \frac{q}{A}$.
Используя далее закон сохранения массы и импульса и вводя обозначение $\frac{ \gamma P}{ \rho} = \frac{ \gamma RT}{ \mu} = c^{2}$, где $c$ - скорость звука, из закона сохранения энергии получаем квадратное уравнение для $v^{ \prime}$
$\frac{2c^{2} }{( \gamma - 1)v} (v^{ \prime} - v ) + v^{ \prime 2} - v^{2} = \frac{2q}{jA}$.
Решая его, находим
a) $v^{ \prime} = \sqrt{ \left ( v + \frac{c^{2} }{ ( \gamma - 1)v } \right )^{2} + \frac{2q}{jA} } - \frac{c^{2} }{ ( \gamma - 1)v }$.
б) Из закона идеального газа находим $\frac{T^{ \prime}}{T} = \frac{ \rho}{ \rho^{ \prime} } = \frac{ v^{ \prime}}{v}$ и, следовательно,
$T^{ \prime} = T \left [ \sqrt{ \left ( 1 + \frac{c^{2} }{ ( \gamma - 1)v^{2} } \right )^{2} + \frac{2q}{jAv^{2} } } - \frac{c^{2} }{( \gamma - 1)v^{2} } \right ]$.
в) Сила тяги, развиваемая такой трубой, очевидно, равна
$F = r \cdot A = Aj(v^{ \prime} - v ) = Aj \left [ \sqrt{ \left ( v + \frac{c^{2} }{ ( \gamma - 1)v } \right )^{2} + \frac{2q}{jA} } - \left ( v + \frac{c^{2} }{( \gamma - 1)v} \right ) \right ]$.
Газ при нормальных давлении и температуре втекает со скоростью $v$ через гладкую трубку с постоянным поперечным сечением площадью $A$. Когда газ проходит через проволочную сетку, оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку, он нагревается. Приобретаемая мощность равна $q вт$. Из трубки газ вытекает со скоростью $v^{ \prime}$. Напишите уравнения, выражающие законы сохранения массы, энергии и импульса для случая, когда через трубку протекает воздух, а затем найдите:
а) $v^{ \prime}$,
б) конечную температуру $T$,
в) напор $F$ (основная характеристика реактивного двигателя).
Решение:
Законы сохранения массы, импульса и энергии требуют, чтобы потоки этих величин слева и справа от сетки равнялись друг другу.
Проще всего записать закон сохранения массы. Введем величину $j$ - плотность потока массы. При этом $jA$ равно массе газа, которая проходит через любое поперечное сечение трубы в единицу времени. Если $\rho$ и $\rho^{ \prime}$ - плотности газа перед и за сеткой, то, согласно закону сохранения массы.
$j = \rho v = \rho^{ \prime} v^{ \prime}$.
Найдем далее выражение для потока импульса. В газе, который как целое покоится, плотность потока импульса, очевидно, равна
$nm \langle v_{x}^{2} \rangle$,
где $n$ - число молекул в единице объема; $m$ - масса молекулы ($\rho = nm$), а усреднение производится с помощью распределения частиц по скоростям. Действительно, импульс одной молекулы в направлении к сетке (выберем его за направление оси $x$) равен $mv_{x}$, а поток импульса $mv_{x}^{2}$. Если умножить $mv_{x}^{2}$ на $n$, то получаемая при этом величина будет равна плотности потока импульса в направлении $x$, обусловленная всеми частицами, компонента скорости которых равна $v_{x}$. Так как частицы в газе распределены по скоростям, величину $nmv_{x}^{2}$ следует усреднить по всем скоростям. При этом получаем естественный результат: плотность потока импульса равна $P$ - давлению в газе. Если же газ как целое движется со скоростью $v$ в направлении оси $x$, то простое обобщение формулы для плотности потока импульса приводит к выражению
$nm \langle (v_{x} + x)^{2} \rangle = P + \rho v^{2} = P + jv$.
Здесь мы использовали тот факт, что $\langle v_{x} \rangle = 0$.
Учтем далее то обстоятельство, что по условию задачи сетка практически не оказывает сопротивления потоку газа, т. е. не происходит повышения давления газа перед сеткой. Это, конечно, не означает, что молекулы газа не обмениваются импульсом с сеткой. Наоборот, именно переданный газом сетке импульс в единицу времени определяет силу тяги, развиваемую трубой.
Обозначим через $r$ импульс, передаваемый газом единичной площадке сетки в единицу времени, так что величина $F = A \cdot r$ будет равна силе тяги трубы. Полагая в соответствии с условием задачи $P = P^{ \prime}$, запишем закон сохранения импульса в виде
$j \cdot v + r = j \cdot v^{ \prime}$.
Рассуждая аналогично, находим далее выражение для плотности потока энергии
$nm \langle \left [ \frac{(v_{x} + v )^{2} }{2} + \frac{v_{y}^{2} }{2} + \frac{v_{z}^{2} }{2} \right ](v_{x} + v ) \rangle = \frac{ \rho}{2} \langle (v_{x} + v )^{3} \rangle + \frac{ \rho }{2} \langle (v_{y}^{2} + v_{z}^{2} )v_{x} \rangle + \frac{ \rho v}{2} \langle v_{y}^{2} + v_{z}^{2} \rangle$.
В силу того что
$\langle (v_{y}^{2} + v_{z}^{2} )v_{x} \rangle = 0, \langle v_{x}^{2} \rangle = 0$,
$\langle v_{y}^{2} + v_{z}^{2} \rangle = 2 \langle v_{x}^{2} \rangle$,
имеем
$\frac{2 \rho v}{2} \langle v_{x}^{2} \rangle + \frac{ \rho v^{3} }{2} + \frac{ \rho v}{2} \langle v_{}^{2} \rangle = \left ( \frac{3}{2} \frac{P}{ \rho} + \frac{v^{2} }{2} + \frac{P}{ \rho} \right )j$.
Внимательно вглядевшись в наши выкладки, мы видим, что слагаемое $3/2 P/ \rho$ есть не что иное, как $U$ - энергия единицы массы газа. Множитель 3/2 появляется лишь в рассматривавшейся выше модели одноатомного газа. В общем случае его нужно заменить на $1/( \gamma - 1)$, где $\gamma$ - газовая постоянная. Если это сделать, то закон сохранения энергии в данной задаче запишется в виде
$\left ( \frac{ \gamma P}{( \gamma - 1) \rho} + \frac{v^{2} }{2} \right )j - \left ( \frac{ \gamma P}{( \gamma - 1) \rho^{ \prime} } + \frac{v^{ \prime 2} }{2} \right ) j = - \frac{q}{A}$.
Используя далее закон сохранения массы и импульса и вводя обозначение $\frac{ \gamma P}{ \rho} = \frac{ \gamma RT}{ \mu} = c^{2}$, где $c$ - скорость звука, из закона сохранения энергии получаем квадратное уравнение для $v^{ \prime}$
$\frac{2c^{2} }{( \gamma - 1)v} (v^{ \prime} - v ) + v^{ \prime 2} - v^{2} = \frac{2q}{jA}$.
Решая его, находим
a) $v^{ \prime} = \sqrt{ \left ( v + \frac{c^{2} }{ ( \gamma - 1)v } \right )^{2} + \frac{2q}{jA} } - \frac{c^{2} }{ ( \gamma - 1)v }$.
б) Из закона идеального газа находим $\frac{T^{ \prime}}{T} = \frac{ \rho}{ \rho^{ \prime} } = \frac{ v^{ \prime}}{v}$ и, следовательно,
$T^{ \prime} = T \left [ \sqrt{ \left ( 1 + \frac{c^{2} }{ ( \gamma - 1)v^{2} } \right )^{2} + \frac{2q}{jAv^{2} } } - \frac{c^{2} }{( \gamma - 1)v^{2} } \right ]$.
в) Сила тяги, развиваемая такой трубой, очевидно, равна
$F = r \cdot A = Aj(v^{ \prime} - v ) = Aj \left [ \sqrt{ \left ( v + \frac{c^{2} }{ ( \gamma - 1)v } \right )^{2} + \frac{2q}{jA} } - \left ( v + \frac{c^{2} }{( \gamma - 1)v} \right ) \right ]$.
