Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10879
2019-10-12 
Какая доля молекул газа (газ находится в тепловом равновесии), достигающих в единицу времени поверхности сосуда, обладает кинетической энергией:
а) большей, чем средняя тепловая,
б) в 3 раза большей, чем средняя тепловая?
Решение:
Пусть поверхность сосуда совпадает с плоскостью координат $yz$, а ось $z$ перпендикулярна к ней. Тогда $dn_{v_{x}}$ - число частиц в единице объема, $x$ - проекция скорости которых заключена в интервале $v_{x}, v_{x} + dv_{x}$, равно
$dn_{v_{x}} = n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi k T} } e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$,
где $n_{0}$ - число частиц газа в единице объема. Ясно, что из Этих частиц только те достигнут за единицу времени поверхности сосуда, т. е. плоскости $yz$, которые расположены от нее не далее расстояния, численно равного $v_{x}$, т. е. их число равно
$v_{x} \cdot n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT} } e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$.
Следовательно, $\nu$ - полное число частиц, которые за единицу времени достигнут поверхности сосуда, равно
$\nu = \int_{0}^{ \infty} v_{x}n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT}} e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x} = \frac{n_{0} \bar{v} }{4}$,
где $\bar{v} = \sqrt{8kT/ \pi m}$ - средняя тепловая скорость молекулы газа. Скорость $\bar{v}$ находится с помощью распределения Максвелла:
$\bar{v} = 4 \pi \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} v^{3} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv $
Следовательно, можно написать
$\nu = n_{0} \pi \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} v^{3} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv $
Перейдем в получившемся интеграле к новой переменной $\epsilon = mv^{2}/2$ - энергии частиц:
$\nu = \frac{2n_{0} \pi }{m} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } d \epsilon$.
Из последнего выражения видно, что величину
$d \nu_{ \epsilon} = n_{0} \frac{2 \pi}{m^{2} } \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } d \epsilon$
можно интерпретировать как число молекул, достигших единичной площадки поверхности сосуда в единицу времени, энергия которых заключена в пределах $\epsilon, \epsilon + d \epsilon$.
а) Используя этот результат, находим, что число молекул, достигших единичной площадки поверхности сосуда с энергией больше тепловой, т. е. с $\epsilon > \bar{ \epsilon} = 3/2kT$, равно
$\frac{2 \pi n_{0} }{m^{2} } \left ( \frac{m}{2 \pi k T} \right )^{3/2} \int_{3/2 kT}^{ \infty} \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } d \epsilon = \frac{ \bar{v} n_{0} }{4} \frac{5}{2} e^{- 3/2 }$.
Следовательно, искомая доля равна $5/г e^{-1,5} =0,55$.
б) $\frac{11}{2} e^{-4,5} = 0,061$.
Какая доля молекул газа (газ находится в тепловом равновесии), достигающих в единицу времени поверхности сосуда, обладает кинетической энергией:
а) большей, чем средняя тепловая,
б) в 3 раза большей, чем средняя тепловая?
Решение:
Пусть поверхность сосуда совпадает с плоскостью координат $yz$, а ось $z$ перпендикулярна к ней. Тогда $dn_{v_{x}}$ - число частиц в единице объема, $x$ - проекция скорости которых заключена в интервале $v_{x}, v_{x} + dv_{x}$, равно
$dn_{v_{x}} = n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi k T} } e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$,
где $n_{0}$ - число частиц газа в единице объема. Ясно, что из Этих частиц только те достигнут за единицу времени поверхности сосуда, т. е. плоскости $yz$, которые расположены от нее не далее расстояния, численно равного $v_{x}$, т. е. их число равно
$v_{x} \cdot n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT} } e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x}$.
Следовательно, $\nu$ - полное число частиц, которые за единицу времени достигнут поверхности сосуда, равно
$\nu = \int_{0}^{ \infty} v_{x}n_{0} \sqrt{ \frac{m}{2 \pi kT}} e^{ - \frac{mv_{x}^{2} }{2kT} } dv_{x} = \frac{n_{0} \bar{v} }{4}$,
где $\bar{v} = \sqrt{8kT/ \pi m}$ - средняя тепловая скорость молекулы газа. Скорость $\bar{v}$ находится с помощью распределения Максвелла:
$\bar{v} = 4 \pi \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} v^{3} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv $
Следовательно, можно написать
$\nu = n_{0} \pi \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} v^{3} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv $
Перейдем в получившемся интеграле к новой переменной $\epsilon = mv^{2}/2$ - энергии частиц:
$\nu = \frac{2n_{0} \pi }{m} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \int_{0}^{ \infty} \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } d \epsilon$.
Из последнего выражения видно, что величину
$d \nu_{ \epsilon} = n_{0} \frac{2 \pi}{m^{2} } \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } d \epsilon$
можно интерпретировать как число молекул, достигших единичной площадки поверхности сосуда в единицу времени, энергия которых заключена в пределах $\epsilon, \epsilon + d \epsilon$.
а) Используя этот результат, находим, что число молекул, достигших единичной площадки поверхности сосуда с энергией больше тепловой, т. е. с $\epsilon > \bar{ \epsilon} = 3/2kT$, равно
$\frac{2 \pi n_{0} }{m^{2} } \left ( \frac{m}{2 \pi k T} \right )^{3/2} \int_{3/2 kT}^{ \infty} \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } d \epsilon = \frac{ \bar{v} n_{0} }{4} \frac{5}{2} e^{- 3/2 }$.
Следовательно, искомая доля равна $5/г e^{-1,5} =0,55$.
б) $\frac{11}{2} e^{-4,5} = 0,061$.
