Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10872
2019-10-12 
а) Представьте себе высокую вертикальную колонку, наполненную газом или жидкостью, плотность которых изменяется с высотой. Покажите, что в этом случае зависимость давления от высоты описывается дифференциальным уравнением $\frac{dP}{dh} = - \rho (h)g$.
б) Решите это уравнение для случая атмосферного воздуха (молекулярный вес $\mu$), если его температура не зависит от высоты.
Решение:
а) Рассмотрим два горизонтальных сечения колонки: на высоте $h$ и высоте $h + dh$. Разность давлений на этих высотах равна весу жидкости или газа в столбике высотой $dh$ и единичной площадью, взятому с противоположным знаком (ясно, что давление надает с высотой)
$dP = P(h + dh) - P(h) = - \rho(h)gdh$.
Отсюда и следует искомое уравнение,
б) Плотность воздуха с давлением и температурой связана соотношением
$\rho(h) = \frac{ \mu P(h) }{TR}$,
которое следует из закона идеального газа $PV = NkT$. Поэтому мы получаем уравнение
$\frac{dP}{dh} = - \frac{ \mu gP}{RT}$.
Интегрируя, находим $P = P_{0} e^{ - \frac{ \mu gh}{RT} }$, где $P_{0}$ - давление у поверхности Земли, т. е. при $h = 0$.
а) Представьте себе высокую вертикальную колонку, наполненную газом или жидкостью, плотность которых изменяется с высотой. Покажите, что в этом случае зависимость давления от высоты описывается дифференциальным уравнением $\frac{dP}{dh} = - \rho (h)g$.
б) Решите это уравнение для случая атмосферного воздуха (молекулярный вес $\mu$), если его температура не зависит от высоты.
Решение:
а) Рассмотрим два горизонтальных сечения колонки: на высоте $h$ и высоте $h + dh$. Разность давлений на этих высотах равна весу жидкости или газа в столбике высотой $dh$ и единичной площадью, взятому с противоположным знаком (ясно, что давление надает с высотой)
$dP = P(h + dh) - P(h) = - \rho(h)gdh$.
Отсюда и следует искомое уравнение,
б) Плотность воздуха с давлением и температурой связана соотношением
$\rho(h) = \frac{ \mu P(h) }{TR}$,
которое следует из закона идеального газа $PV = NkT$. Поэтому мы получаем уравнение
$\frac{dP}{dh} = - \frac{ \mu gP}{RT}$.
Интегрируя, находим $P = P_{0} e^{ - \frac{ \mu gh}{RT} }$, где $P_{0}$ - давление у поверхности Земли, т. е. при $h = 0$.
