Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10848
2019-10-11 
На рисунке показан общий вид спектрографической решетки. Свет от источника $L$ проходит через узкую щель $S$, затем через коллиматорную линзу (или зеркало) $C_{1}$, которая превращает его в параллельный пучок лучей (так что на решетку падает как бы плоская волна, приходящая из бесконечности). Далее параллельный пучок лучей дифрагирует от решетки $G$; дифрагированный свет, идущий в определенном угловом интервале, падает на линзу $C_{2}$, называемую камерной, и фокусируется ею в плоскости $P$. Получается набор узких спектральных линий. Пусть длина щели равна $h$, ее ширина $w$, фокусные расстояния линз $C_{1}$ и $C_{2}$ равны $F_{1}$ и $F_{2}$, а углы между нормалью к решетке и осями линз $C_{1}$ и $C_{2}$ равны $\theta_{i}$ и $\theta_{d}$; 1 мм решетки содержит $N$ линий. Дайте ответ на следующие вопросы:
а) Какую ширину будет иметь полоса, занимаемая спектром в плоскости $P$?
б) Какой длине волны ($s$) будет отвечать линия, лежащая на плоскости $P$ в месте прохождения оси линзы $C_{2}$?
в) На каком расстоянии друг от друга в фокальной плоскости будут находиться две спектральные линии, длины волн которых отличаются на 1,00 $\overset{ \circ}{А}$? Такая величина часто называется дисперсией оптического устройства.
г) Какова ширина спектральной линии в плоскости $P$, если ширина щели $w$ много больше разрешения коллиматорной линзы [равного $1,22 \lambda (F_{1}/A_{1})$, где $A_{1}$ - апертура], и уширения, создаваемого решеткой и равного $( \lambda /L)F_{1}$, где $L$ - размер решетки?
Решение:
а) Щель спектрографа параллельна оси, вокруг которой поворачивается решетка, поэтому независимо от угла ее поворота длина изображения щели на экране Р (а это и есть ширина спектральной полосы) определяется увеличением системы из двух линз, которое равно $F_{2}/F_{1}$. Следовательно,
$h^{ \prime} = \frac{hF_{2} }{F_{1} }$.
(Не путать ширину полосы с шириной линии в спектре.)
б) Условие, при котором максимум интенсивности для заданной длины волны $\lambda$ соответствует направлению, совпадающему с осью $C_{2}$, т. е. углу выхода точно $\theta_{d}$, имеет вид
$\lambda = \frac{d}{m} | \sin \theta_{d} - \sin \theta_{i} | = \frac{1}{Nm} | \sin \theta_{d} - \sin \theta_{i} | = 10^{7} \overset{ \circ}{A}$.
($m$ - порядок спектра).
в) Искомое расстояние равно $D = F_{2} \Delta \theta_{d}$, где $\Delta \theta_{d}$ - разность между углами, которые соответствуют максимумам с разницей длин волн $1 \overset{ \circ}{A}$ при фиксированном угле $\theta_{i}$. Дифференцируя соотношение $\sin \theta_{d} = \sin \theta_{i}- + \frac{m \lambda}{d}$, получаем $\cos \theta_{d} \Delta \theta_{d} = \frac{m \cdot \Delta \lambda}{d}$. Отсюда при $\Delta \lambda = 1 \overset{ \circ}{А}$ получаем $D = \frac{F_{2}mN \cdot 10^{-7}}{ \cos \theta_{d}}$.
г) Решение аналогично случаю (а) с той разницей, что ширина изображения щели в отличие от длины меняется при поворотах решетки и линзы $C_{2}$ пропорционально $\cos \theta_{i}/ \cos \theta_{d}$. Следовательно,
$w^{ \prime} = \frac{wF_{2} \cos \theta_{i} }{F_{1} \cos \theta_{d} }$.
На рисунке показан общий вид спектрографической решетки. Свет от источника $L$ проходит через узкую щель $S$, затем через коллиматорную линзу (или зеркало) $C_{1}$, которая превращает его в параллельный пучок лучей (так что на решетку падает как бы плоская волна, приходящая из бесконечности). Далее параллельный пучок лучей дифрагирует от решетки $G$; дифрагированный свет, идущий в определенном угловом интервале, падает на линзу $C_{2}$, называемую камерной, и фокусируется ею в плоскости $P$. Получается набор узких спектральных линий. Пусть длина щели равна $h$, ее ширина $w$, фокусные расстояния линз $C_{1}$ и $C_{2}$ равны $F_{1}$ и $F_{2}$, а углы между нормалью к решетке и осями линз $C_{1}$ и $C_{2}$ равны $\theta_{i}$ и $\theta_{d}$; 1 мм решетки содержит $N$ линий. Дайте ответ на следующие вопросы:
а) Какую ширину будет иметь полоса, занимаемая спектром в плоскости $P$?
б) Какой длине волны ($s$) будет отвечать линия, лежащая на плоскости $P$ в месте прохождения оси линзы $C_{2}$?
в) На каком расстоянии друг от друга в фокальной плоскости будут находиться две спектральные линии, длины волн которых отличаются на 1,00 $\overset{ \circ}{А}$? Такая величина часто называется дисперсией оптического устройства.
г) Какова ширина спектральной линии в плоскости $P$, если ширина щели $w$ много больше разрешения коллиматорной линзы [равного $1,22 \lambda (F_{1}/A_{1})$, где $A_{1}$ - апертура], и уширения, создаваемого решеткой и равного $( \lambda /L)F_{1}$, где $L$ - размер решетки?
Решение:
а) Щель спектрографа параллельна оси, вокруг которой поворачивается решетка, поэтому независимо от угла ее поворота длина изображения щели на экране Р (а это и есть ширина спектральной полосы) определяется увеличением системы из двух линз, которое равно $F_{2}/F_{1}$. Следовательно,
$h^{ \prime} = \frac{hF_{2} }{F_{1} }$.
(Не путать ширину полосы с шириной линии в спектре.)
б) Условие, при котором максимум интенсивности для заданной длины волны $\lambda$ соответствует направлению, совпадающему с осью $C_{2}$, т. е. углу выхода точно $\theta_{d}$, имеет вид
$\lambda = \frac{d}{m} | \sin \theta_{d} - \sin \theta_{i} | = \frac{1}{Nm} | \sin \theta_{d} - \sin \theta_{i} | = 10^{7} \overset{ \circ}{A}$.
($m$ - порядок спектра).
в) Искомое расстояние равно $D = F_{2} \Delta \theta_{d}$, где $\Delta \theta_{d}$ - разность между углами, которые соответствуют максимумам с разницей длин волн $1 \overset{ \circ}{A}$ при фиксированном угле $\theta_{i}$. Дифференцируя соотношение $\sin \theta_{d} = \sin \theta_{i}- + \frac{m \lambda}{d}$, получаем $\cos \theta_{d} \Delta \theta_{d} = \frac{m \cdot \Delta \lambda}{d}$. Отсюда при $\Delta \lambda = 1 \overset{ \circ}{А}$ получаем $D = \frac{F_{2}mN \cdot 10^{-7}}{ \cos \theta_{d}}$.
г) Решение аналогично случаю (а) с той разницей, что ширина изображения щели в отличие от длины меняется при поворотах решетки и линзы $C_{2}$ пропорционально $\cos \theta_{i}/ \cos \theta_{d}$. Следовательно,
$w^{ \prime} = \frac{wF_{2} \cos \theta_{i} }{F_{1} \cos \theta_{d} }$.
