Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10837
2019-10-11 
Внешний диаметр стеклянной капиллярной трубки равен $D$, показатель ее преломления $n$. Если смотреть на трубку со стороны, то кажется, что маленькое капиллярное отверстие имеет диаметр $d$. Чему в действительности равен диаметр $d^{ \prime}$ трубки?
Решение:
На рисунке изображен поперечный разрез капиллярной трубки. Нужно построить изображение радиуса капиллярного отверстия, создаваемое стенкой трубки, которая действует как толстая цилиндрическая линза. Способ построения ясен из чертежа; из закона преломления и рассмотрения треугольников на рисунке вытекают следующие соотношения:
$d = D \sin \alpha; \sin \alpha = n \sin \beta$;
$\frac{d^{ \prime}}{D} = \frac{ \sin \beta}{ \sin (180^{ \circ} - \beta - 90^{ \circ} + \alpha ) } = \frac{ \sin \beta}{ \cos ( \alpha - \beta) }$.
Исключая из них $\alpha$ и $\beta$, можно получить довольно громоздкое точное выражение для $d$ через $d^{ \prime}, D$ и $n$. Интересно простое приближенное выражение для случая, когда $d \ll D$. Тогда углы $\alpha$ и $\beta$ (и, следовательно, $\alpha - \beta$) малы, и в точном выражении $d = d^{ \prime} n \cos ( \alpha - \beta)$, следующем из выписанных соотношений, можно положить в первом приближении косинус равным единице. Тогда $d = d^{ \prime}n$.
Внешний диаметр стеклянной капиллярной трубки равен $D$, показатель ее преломления $n$. Если смотреть на трубку со стороны, то кажется, что маленькое капиллярное отверстие имеет диаметр $d$. Чему в действительности равен диаметр $d^{ \prime}$ трубки?
Решение:
На рисунке изображен поперечный разрез капиллярной трубки. Нужно построить изображение радиуса капиллярного отверстия, создаваемое стенкой трубки, которая действует как толстая цилиндрическая линза. Способ построения ясен из чертежа; из закона преломления и рассмотрения треугольников на рисунке вытекают следующие соотношения:
$d = D \sin \alpha; \sin \alpha = n \sin \beta$;
$\frac{d^{ \prime}}{D} = \frac{ \sin \beta}{ \sin (180^{ \circ} - \beta - 90^{ \circ} + \alpha ) } = \frac{ \sin \beta}{ \cos ( \alpha - \beta) }$.
Исключая из них $\alpha$ и $\beta$, можно получить довольно громоздкое точное выражение для $d$ через $d^{ \prime}, D$ и $n$. Интересно простое приближенное выражение для случая, когда $d \ll D$. Тогда углы $\alpha$ и $\beta$ (и, следовательно, $\alpha - \beta$) малы, и в точном выражении $d = d^{ \prime} n \cos ( \alpha - \beta)$, следующем из выписанных соотношений, можно положить в первом приближении косинус равным единице. Тогда $d = d^{ \prime}n$.
