Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10830
2019-10-11 
Пешеход, идя по тротуару, проходит 1,5 л в 1 сек, а по вспаханному полю - только 0,9 м за 1 сек. Он вышел из точки А, находящейся на расстоянии 42 м от стены, и направляется в точку В, расположенную к югу вдоль стены на расстоянии 36 м от края поля.
а) По какому пути AkB должен идти пешеход, чтобы пройти его в кратчайшее время? (Уместно предположить, что к этой задаче приложим «закон преломления». Однако если вы достаточно смелы, то попытайтесь решить ее без такого предположения.)
б) Чему равно это кратчайшее время?
в) Какое потребуется время, чтобы пройти по маршрутам $ACB$ и $AC^{ \prime} B$, если $Ck=kC^{ \prime} = 3 м$?
Решение:
а) Обозначим через $x$ расстояние от точки К до стены. Тогда время $T$, затраченное на ходьбу, выражается через $x$ следующим образом:
$T(x) = \frac{42 - x}{1,5} + \frac{ \sqrt{x^{2} + 36^{2} } }{0,9}$.
Необходимо найти величину $x = x_{0}$, при которой это время минимально. Она находится из условия, чтобы первая производная $dT/dx$ обращалась в нуль при $x = x_{0}$:
$\left . \frac{dT}{dx} \right |_{x = x_{0} } = 0$.
Выполняя дифференцирование, получаем квадратное уравнение $1,8 \sqrt{x_{0}^{2} + 36^{2}} - 3x_{0} = 0$. Его положительный корень $x_{0} = 27$, что соответствует АК = 15 м.
б) Подставляя $x = x_{0} = 27 м$ в $T(x)$, находим кратчайшее время $T_{мин} = 60 сек$.
в) Вблизи минимума функцию $T(x)$ можно приближенно представить в виде
$T(x) \approx T(x_{0} ) + \frac{1}{2} \left . \frac{d^{2}T }{dx^{2} } \right |_{x = x_{0} } (x - x_{0} )^{2}$.
Вычисляя вторую производную в точке $x_{0}$ и подставляя в приближенную формулу $x - x_{0} = \pm 3 м$, получаем $T = 60,1 сек$. Точность этого приближения можно проверить непосредственным вычислением $T (x_{0} \pm 3)$ по точной формуле.
Пешеход, идя по тротуару, проходит 1,5 л в 1 сек, а по вспаханному полю - только 0,9 м за 1 сек. Он вышел из точки А, находящейся на расстоянии 42 м от стены, и направляется в точку В, расположенную к югу вдоль стены на расстоянии 36 м от края поля.
а) По какому пути AkB должен идти пешеход, чтобы пройти его в кратчайшее время? (Уместно предположить, что к этой задаче приложим «закон преломления». Однако если вы достаточно смелы, то попытайтесь решить ее без такого предположения.)
б) Чему равно это кратчайшее время?
в) Какое потребуется время, чтобы пройти по маршрутам $ACB$ и $AC^{ \prime} B$, если $Ck=kC^{ \prime} = 3 м$?
Решение:
а) Обозначим через $x$ расстояние от точки К до стены. Тогда время $T$, затраченное на ходьбу, выражается через $x$ следующим образом:
$T(x) = \frac{42 - x}{1,5} + \frac{ \sqrt{x^{2} + 36^{2} } }{0,9}$.
Необходимо найти величину $x = x_{0}$, при которой это время минимально. Она находится из условия, чтобы первая производная $dT/dx$ обращалась в нуль при $x = x_{0}$:
$\left . \frac{dT}{dx} \right |_{x = x_{0} } = 0$.
Выполняя дифференцирование, получаем квадратное уравнение $1,8 \sqrt{x_{0}^{2} + 36^{2}} - 3x_{0} = 0$. Его положительный корень $x_{0} = 27$, что соответствует АК = 15 м.
б) Подставляя $x = x_{0} = 27 м$ в $T(x)$, находим кратчайшее время $T_{мин} = 60 сек$.
в) Вблизи минимума функцию $T(x)$ можно приближенно представить в виде
$T(x) \approx T(x_{0} ) + \frac{1}{2} \left . \frac{d^{2}T }{dx^{2} } \right |_{x = x_{0} } (x - x_{0} )^{2}$.
Вычисляя вторую производную в точке $x_{0}$ и подставляя в приближенную формулу $x - x_{0} = \pm 3 м$, получаем $T = 60,1 сек$. Точность этого приближения можно проверить непосредственным вычислением $T (x_{0} \pm 3)$ по точной формуле.
