Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10810
2019-10-07 
Две частицы с массами $3/4M$ и $M$ соединены пружиной пренебрежимо малой массы; длина пружины в свободном состоянии равна $L$, упругая постоянная $K$. Вначале массы покоятся на расстоянии $L$ друг от друга на горизонтальном абсолютно гладком столе. Третья частица массы $1/4M$, движущаяся вдоль линии, соединяющей первые две частицы, сталкивается и прилипает к частице с массой $3/4M$. Найти амплитуду и период колебаний системы.
Решение:
После удара центр масс всей системы будет двигаться вправо со скоростью $v_{ц.м.}$, определяемой из закона сохранения количества движения:
$\frac{1}{4} Mv = 2Mv_{ц.м.}$, откуда $v_{ц.м.} = \frac{1}{8}v$.
В системе координат, жестко связанной с центром масс системы, частицы (массой $M$ каждая) совершают гармонические колебания (при этом они движутся либо навстречу друг другу, либо в противоположные стороны) около положений равновесия, лежащих в точках $-L/2$ и $L/2$ для левой и правой массы соответственно.
Если обозначить через $x_{1}$ и $x_{2}$ отклонения масс от положения равновесия, то удлинение пружины равно $x = x_{2} - x_{1}$, а уравнения движения грузов имеют вид
$M \ddot{x}_{1} = - k(x - x_{2}); M \ddot{x} = -k(x + x_{1})$.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем
$M \ddot{x} = - kx$.
Таким образом, пружина колеблется по закону
$x = \cos \omega t + B_{1} \sin \omega t$,
где $\omega = 2 \pi \sqrt{M/k}$, а $A_{1}$ и $A_{2}$ определяются начальными условиями. В момент столкновения пружина была ненапряжена, т. е. $x = 0$, а массы двигались навстречу друг другу со скоростями $1/9 v$, т. е. х $x = 1/4v$. При таких начальных условиях $A_{1} = 0, B_{1} = v/4 \omega$, т. е. $x = (v/4 \omega ) \sin \omega t$. Итак, период колебаний системы равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k}}$,
а амплитуда этих колебаний
$\frac{v}{4} \sqrt{ \frac{M}{k} }$.
Две частицы с массами $3/4M$ и $M$ соединены пружиной пренебрежимо малой массы; длина пружины в свободном состоянии равна $L$, упругая постоянная $K$. Вначале массы покоятся на расстоянии $L$ друг от друга на горизонтальном абсолютно гладком столе. Третья частица массы $1/4M$, движущаяся вдоль линии, соединяющей первые две частицы, сталкивается и прилипает к частице с массой $3/4M$. Найти амплитуду и период колебаний системы.
Решение:
После удара центр масс всей системы будет двигаться вправо со скоростью $v_{ц.м.}$, определяемой из закона сохранения количества движения:
$\frac{1}{4} Mv = 2Mv_{ц.м.}$, откуда $v_{ц.м.} = \frac{1}{8}v$.
В системе координат, жестко связанной с центром масс системы, частицы (массой $M$ каждая) совершают гармонические колебания (при этом они движутся либо навстречу друг другу, либо в противоположные стороны) около положений равновесия, лежащих в точках $-L/2$ и $L/2$ для левой и правой массы соответственно.
Если обозначить через $x_{1}$ и $x_{2}$ отклонения масс от положения равновесия, то удлинение пружины равно $x = x_{2} - x_{1}$, а уравнения движения грузов имеют вид
$M \ddot{x}_{1} = - k(x - x_{2}); M \ddot{x} = -k(x + x_{1})$.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем
$M \ddot{x} = - kx$.
Таким образом, пружина колеблется по закону
$x = \cos \omega t + B_{1} \sin \omega t$,
где $\omega = 2 \pi \sqrt{M/k}$, а $A_{1}$ и $A_{2}$ определяются начальными условиями. В момент столкновения пружина была ненапряжена, т. е. $x = 0$, а массы двигались навстречу друг другу со скоростями $1/9 v$, т. е. х $x = 1/4v$. При таких начальных условиях $A_{1} = 0, B_{1} = v/4 \omega$, т. е. $x = (v/4 \omega ) \sin \omega t$. Итак, период колебаний системы равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{M}{k}}$,
а амплитуда этих колебаний
$\frac{v}{4} \sqrt{ \frac{M}{k} }$.
