Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10808
2019-10-07 
Каркас, сделанный из жесткой проволоки однородного поперечного сечения и постоянной плотности, состоит из дуги полуокружности АСВ и диаметра АВ. Этот каркас прикрепляется с помощью абсолютно гладкого штифта в точке Р, проходящей через отверстие в средней точке его диаметра, и приводится в движение, как маятник. Если диаметр каркаса АВ равен 50 см, то каков период колебательного движения такого каркаса?
Решение:
В задаче 10805 получено уравнение малых колебаний твердого тела
$\ddot{ \theta} = - \frac{Mgd}{I} \theta$,
где $d$ - расстояние от оси вращения до центра масс тела, $I$ -момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса. Из него следует, что
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{Mgd} }$.
Если масса единицы длины проволоки $\rho$, то масса всего каркаса $M = \rho ( \pi R + 2R) = \rho R ( \pi + 2)$ ($R$ - радиус полуокружности АСВ), а
$I = \pi \rho R \cdot R^{2} + 2R \rho \frac{(2R)^{2} }{12} = \rho R^{3} \left ( \frac{2}{3} + \pi \right )$.
Центр масс полуокружности АСВ лежит на перпендикуляре к диаметру АВ, проходящем через точку подвеса Р на расстоянии (см. задачу 10786)
$d_{1} = R \left ( \frac{2R}{L} \right ) \sin \frac{L}{2R} = \frac{2R}{ \pi}$ ($L = \pi R$),
а центр масс диаметра АВ находится в точке подвеса. Поэтому
$d = \frac{ \pi R \rho d_{1}}{ \pi R \rho + 2R \rho } = \frac{ \pi}{2 + \pi} d_{1} = \frac{2R}{2 + \pi}$.
Таким образом,
$T = 2 \pi \sqrt{ \left ( \frac{2}{3} + \pi \right ) \frac{R}{2g}} \approx 2 сек$.
Каркас, сделанный из жесткой проволоки однородного поперечного сечения и постоянной плотности, состоит из дуги полуокружности АСВ и диаметра АВ. Этот каркас прикрепляется с помощью абсолютно гладкого штифта в точке Р, проходящей через отверстие в средней точке его диаметра, и приводится в движение, как маятник. Если диаметр каркаса АВ равен 50 см, то каков период колебательного движения такого каркаса?
Решение:
В задаче 10805 получено уравнение малых колебаний твердого тела
$\ddot{ \theta} = - \frac{Mgd}{I} \theta$,
где $d$ - расстояние от оси вращения до центра масс тела, $I$ -момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса. Из него следует, что
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{Mgd} }$.
Если масса единицы длины проволоки $\rho$, то масса всего каркаса $M = \rho ( \pi R + 2R) = \rho R ( \pi + 2)$ ($R$ - радиус полуокружности АСВ), а
$I = \pi \rho R \cdot R^{2} + 2R \rho \frac{(2R)^{2} }{12} = \rho R^{3} \left ( \frac{2}{3} + \pi \right )$.
Центр масс полуокружности АСВ лежит на перпендикуляре к диаметру АВ, проходящем через точку подвеса Р на расстоянии (см. задачу 10786)
$d_{1} = R \left ( \frac{2R}{L} \right ) \sin \frac{L}{2R} = \frac{2R}{ \pi}$ ($L = \pi R$),
а центр масс диаметра АВ находится в точке подвеса. Поэтому
$d = \frac{ \pi R \rho d_{1}}{ \pi R \rho + 2R \rho } = \frac{ \pi}{2 + \pi} d_{1} = \frac{2R}{2 + \pi}$.
Таким образом,
$T = 2 \pi \sqrt{ \left ( \frac{2}{3} + \pi \right ) \frac{R}{2g}} \approx 2 сек$.
