Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10807
2019-10-07 
Линейная пружина, находясь в свободном состоянии, имеет длину $D$, а когда на ее конце подвешен груз массы $m$, ее длина становится равной $D + A$. На груз, находящийся в покое, с высоты $A$ падает другой груз такой же массы, прилипающий к первому. Найдите период и амплитуду колебаний такой системы и максимальную высоту (над первоначальным положением равновесия), достигаемые в результирующем движении.
Решение:
Из того, что пружина под действием силы веса груза массой $m$ удлиняется на $A$, находим ее коэффициент жесткости $k = mg/A$.
Когда на пружине неподвижно'висят два груза общей массой $2m$, ее длина $l_{0}$ определяется условием
$k(l_{0} - D) = 2mg$, так что $l_{0} = D + 2A$.
Поместим начало координат в точку $l_{0}$, а ось х направим вертикально вниз. В этом случае уравнение движения грузиков примет вид
$2, \ddot{x} = - kx$, или $\ddot{x} + \frac{g}{2A} x = 0$.
Как известно, дифференциальное уравнение такого типа описывает колебания с периодом
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{2A}{g} }$.
Легко убедиться в том, что решением этого уравнения является функция
$x(t) = B_{1} \cos \omega t + B_{2} \sin \omega t$,
где $B_{1}$ и $B_{2}$ - постоянные, определяемые из начальных условий.
Систему координат мы выбрали таким образом, что $x = x_{0} = - A$ при $t = 0$. Начальную скорость $v_{0}$ находим, учитывая сохранение импульса
при ударе
$mv = 2mv_{0}$,
откуда
$v_{0} = \frac{v}{2}$
($v$ - скорость тела, упавшего с высоты $A$ т.е. $v = \sqrt{2Ag}$). Таким образом,
$v_{0} = \sqrt{ \frac{gA}{2} }$.
Этим начальным условиям соответствуют постоянные $B_{2} = - B_{1} = A$, т. е. решение уравнения движения имеет вид
$x = A ( \sin ( \omega t - \cos \omega t)$.
Амплитуда колебаний, т. е. максимальное отклонение точки от положения равновесия, достигается в тот момент времени $t_{1}$, когда скорость колеблющихся грузов равна нулю:
$\dot{x} = A \omega ( \sin \omega t_{1} + \cos \omega t_{1} ) = 0$,
что дает
$\sin \omega t_{1} = - \cos \omega t_{1} = \frac{1}{ \sqrt{2} }$
и
$x_{max} = A \sqrt{2}$.
Максимальная высота подъема над первоначальным положением равновесия (находящимся на расстоянии $A$ вверх от начала координат)
$H = x_{max} - A = A ( \sqrt{2} - 1)$.
Линейная пружина, находясь в свободном состоянии, имеет длину $D$, а когда на ее конце подвешен груз массы $m$, ее длина становится равной $D + A$. На груз, находящийся в покое, с высоты $A$ падает другой груз такой же массы, прилипающий к первому. Найдите период и амплитуду колебаний такой системы и максимальную высоту (над первоначальным положением равновесия), достигаемые в результирующем движении.
Решение:
Из того, что пружина под действием силы веса груза массой $m$ удлиняется на $A$, находим ее коэффициент жесткости $k = mg/A$.
Когда на пружине неподвижно'висят два груза общей массой $2m$, ее длина $l_{0}$ определяется условием
$k(l_{0} - D) = 2mg$, так что $l_{0} = D + 2A$.
Поместим начало координат в точку $l_{0}$, а ось х направим вертикально вниз. В этом случае уравнение движения грузиков примет вид
$2, \ddot{x} = - kx$, или $\ddot{x} + \frac{g}{2A} x = 0$.
Как известно, дифференциальное уравнение такого типа описывает колебания с периодом
$T = \frac{2 \pi}{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{2A}{g} }$.
Легко убедиться в том, что решением этого уравнения является функция
$x(t) = B_{1} \cos \omega t + B_{2} \sin \omega t$,
где $B_{1}$ и $B_{2}$ - постоянные, определяемые из начальных условий.
Систему координат мы выбрали таким образом, что $x = x_{0} = - A$ при $t = 0$. Начальную скорость $v_{0}$ находим, учитывая сохранение импульса
при ударе
$mv = 2mv_{0}$,
откуда
$v_{0} = \frac{v}{2}$
($v$ - скорость тела, упавшего с высоты $A$ т.е. $v = \sqrt{2Ag}$). Таким образом,
$v_{0} = \sqrt{ \frac{gA}{2} }$.
Этим начальным условиям соответствуют постоянные $B_{2} = - B_{1} = A$, т. е. решение уравнения движения имеет вид
$x = A ( \sin ( \omega t - \cos \omega t)$.
Амплитуда колебаний, т. е. максимальное отклонение точки от положения равновесия, достигается в тот момент времени $t_{1}$, когда скорость колеблющихся грузов равна нулю:
$\dot{x} = A \omega ( \sin \omega t_{1} + \cos \omega t_{1} ) = 0$,
что дает
$\sin \omega t_{1} = - \cos \omega t_{1} = \frac{1}{ \sqrt{2} }$
и
$x_{max} = A \sqrt{2}$.
Максимальная высота подъема над первоначальным положением равновесия (находящимся на расстоянии $A$ вверх от начала координат)
$H = x_{max} - A = A ( \sqrt{2} - 1)$.
