ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-07   
В задаче 10805 момент инерции твердого тела относительно его центра масс равен $I_{c}$. Найдите выражение для периода малых колебаний как функции $d$ (и $I_{c}$) и покажите:
а) что имеются два значения $d: d_{1}$ и $d_{2}$, которые соответствуют данному периоду;
б) что период равен $T = 2 \pi \left ( \frac{d_{1} + d_{2} }{g} \right )$;
в) что период минимален, когда $d = \sqrt{I_{c}/M}$. Найдите это минимальное значение периода.


Решение:


В найденном в задаче 10805 выражении для периода колебаний положим $I = I_{c} + Md^{2}$. Тогда

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I_{C} + Md^{2} }{Mgd} }$.

а) Найдем $d$, соответствующее данному значению периода. Решая квадратное уравнение

$d^{2} - \frac{gT^{2} }{4 \pi^{2} } + \frac{I_{C} }{M} = 0$,

находим

$d_{1} = \frac{gT^{2} }{8 \pi^{2} } + \sqrt{ \frac{g^{2}T_{0}^{4} }{64 \pi^{4} } - \frac{I_{C} }{M} }$

и

$d_{2} = \frac{gT^{2} }{8 \pi^{2} } - \sqrt{ \frac{g^{2}T_{0}^{4} }{64 \pi^{4} } - \frac{I_{C} }{M} }$

б) Складывая $d_{1}$ и $d_{2}$, получаем

$d_{1} + d_{2} = \frac{gT^{2} }{4 \pi^{2} }$, откуда $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{d_{1} + d_{2} }{g} }$.

в) Период минимален при таком значении $d$, при котором минимально выражение

$\frac{I_{C} + Md^{2}}{Mgd}$

(подкоренное выражение в формуле для периода). Условие минимума имеет вид

$\left ( \frac{I_{C} + Md^{2} }{Mgd} \right )^{ \prime} = 0$

(штрих означает дифференцирование пo $d$), т. е.

$\frac{2 Md Mgd - (I_{C} + Md^{2})Mg}{M^{2}g^{2}d^{2} } = 0$.

Отсюда

$d_{min} = \sqrt{ \frac{I_{C} }{M} }$.

Подставляя это выражение в формулу для периода колебаний, получаем минимальное значение периода

$T_{min} = 2 \pi \sqrt{ \frac{2d_{min} }{g} } = 2 \pi \sqrt{ \frac{2}{g} \sqrt{ \frac{I_{C} }{M} } }$.