Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10805
2019-10-07 
Твердое тело массы $M$ свободно насажено на расположенную горизонтально ось, которая проходит на расстоянии $d$ от центра масс $C$. Момент инерции относительно оси вращения равен $I$ (трение отсутствует) .
а) Напишите дифференциальное уравнение, которое описывает изменение угла отклонения $\theta$ со временем (угол $\theta$ отсчитывайте от равновесного положения тела).
б) Если тело совершает малые колебания, так что $\sin \theta \approx \theta$, то чему равен период этих колебаний?
Решение:
а) Пусть С - центр масс тела, а через точку О проходит ось вращения. В положении равновесия О и С находятся на одной вертикали. Уравнение движения тела имеет вид
$\frac{d \vec{L} }{dt} = \vec{M}$,
где $\vec{L}$ - момент количества движения, а $\vec{M}$ - момент внешних сил.
В нашем случае нужно учесть только силу тяжести (проложенную в точке С), момент которой относительно точки О равен $-Mgd \sin \theta$. Момент количества движения тела равен $I \omega$, так что
$\frac{d}{dt} I \omega = - Mgd \sin \theta$.
Но $\omega = dQ/dt$, поэтому после дифференцирования по времени получим
$I \frac{d^{2} \theta}{dt^{2} } = - Mgd \sin \theta$.
Это и есть дифференциальное уравнение, описывающее изменение угла $\theta$ со временем.
б) Если предположить, что $\theta$ мало, т. е. $\sin \theta \approx \theta$, то получим
$I \frac{d^{2} \theta}{d \theta^{2} } + Mg d \theta = 0$, или $\ddot{ \theta} + \frac{Mgd}{l} \theta = 0$.
такое дифференциальное уравнение описывает колебания с периодом $T = 2 \pi/ \omega$), где $\omega^{2} = Mgd/I$. Поэтому период малых колебаний тела
$T =2 \pi \sqrt{ \frac{I}{Mgd} }$.
Твердое тело массы $M$ свободно насажено на расположенную горизонтально ось, которая проходит на расстоянии $d$ от центра масс $C$. Момент инерции относительно оси вращения равен $I$ (трение отсутствует) .
а) Напишите дифференциальное уравнение, которое описывает изменение угла отклонения $\theta$ со временем (угол $\theta$ отсчитывайте от равновесного положения тела).
б) Если тело совершает малые колебания, так что $\sin \theta \approx \theta$, то чему равен период этих колебаний?
Решение:
а) Пусть С - центр масс тела, а через точку О проходит ось вращения. В положении равновесия О и С находятся на одной вертикали. Уравнение движения тела имеет вид
$\frac{d \vec{L} }{dt} = \vec{M}$,
где $\vec{L}$ - момент количества движения, а $\vec{M}$ - момент внешних сил.
В нашем случае нужно учесть только силу тяжести (проложенную в точке С), момент которой относительно точки О равен $-Mgd \sin \theta$. Момент количества движения тела равен $I \omega$, так что
$\frac{d}{dt} I \omega = - Mgd \sin \theta$.
Но $\omega = dQ/dt$, поэтому после дифференцирования по времени получим
$I \frac{d^{2} \theta}{dt^{2} } = - Mgd \sin \theta$.
Это и есть дифференциальное уравнение, описывающее изменение угла $\theta$ со временем.
б) Если предположить, что $\theta$ мало, т. е. $\sin \theta \approx \theta$, то получим
$I \frac{d^{2} \theta}{d \theta^{2} } + Mg d \theta = 0$, или $\ddot{ \theta} + \frac{Mgd}{l} \theta = 0$.
такое дифференциальное уравнение описывает колебания с периодом $T = 2 \pi/ \omega$), где $\omega^{2} = Mgd/I$. Поэтому период малых колебаний тела
$T =2 \pi \sqrt{ \frac{I}{Mgd} }$.
