Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10802
2019-10-05 
Тонкий стержень массы $M$ и длины $L$ лежит на горизонтальной абсолютно гладкой поверхности. Маленький кусочек замазки такой же массы, обладающей скоростью $v$, которая направлена перпендикулярно стержню, ударяется об один конец стержня и прилипает к нему, совершая тем самым неупругое столкновение очень малой продолжительности.
а) Какова скорость центра масс системы до и после столкновения?
б) Чему равен момент количества движения системы относительно ее центра масс непосредственно перед столкновением?
в) Чему равна угловая скорость (относительно центра масс) сразу же после столкновения?
г) На сколько уменьшается кинетическая энергия системы при столкновении?
Решение:
а) Центр масс однородного стержня находится в его середине, т. е. на расстоянии $L/2$ от конца. Центр масс системы из стержня и замазки находится посредине отрезка, соединяющего замазку и точку О, т. е. на расстоянии $L/4$ от линии удара.
Стержень до удара покоился, поэтому
$\vec{v}_{ц.м.} = \frac{M \vec{v} }{M + M} = \frac{ \vec{v} }{2}$.
Из закона сохранения импульса следует, что скорость центра масс после удара не изменилась, т. е. осталась равной $\vec{v}/2$.
б) Момент количества движения системы относительно ее центра равен до удара $MvL/4$.
в) Момент количества движения системы после столкновения равен $I \omega$, где $I$ - момент инерции относительно центра масс, т. е.
$I = \frac{ML^{2} }{12} + 2M \frac{L^{2} }{16} = \frac{5}{24} ML^{2}$,
а $\omega$ - угловая скорость вращения относительно центра масс.
Из закона сохранения момента количества движения
$\frac{L}{4} Mv = \frac{5}{24} ML^{2} \omega$,
откуда
$\omega = \frac{6}{5} \frac{v}{L}$.
г) Так как скорость центра масс равна $v/2$, кинетическая энергия системы после удара
$T_{к} = \frac{1}{2} 2M \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{2}{5} Mv^{2}$.
Изменение кинетической энергии при ударе
$\Delta T = \frac{1}{2} Mv^{2} - T_{к} = 0,2T_{н}$
($T_{н} = \frac{1}{2}Mv^{2}$ - начальная кинетическая энергия системы).
Тонкий стержень массы $M$ и длины $L$ лежит на горизонтальной абсолютно гладкой поверхности. Маленький кусочек замазки такой же массы, обладающей скоростью $v$, которая направлена перпендикулярно стержню, ударяется об один конец стержня и прилипает к нему, совершая тем самым неупругое столкновение очень малой продолжительности.
а) Какова скорость центра масс системы до и после столкновения?
б) Чему равен момент количества движения системы относительно ее центра масс непосредственно перед столкновением?
в) Чему равна угловая скорость (относительно центра масс) сразу же после столкновения?
г) На сколько уменьшается кинетическая энергия системы при столкновении?
Решение:
а) Центр масс однородного стержня находится в его середине, т. е. на расстоянии $L/2$ от конца. Центр масс системы из стержня и замазки находится посредине отрезка, соединяющего замазку и точку О, т. е. на расстоянии $L/4$ от линии удара.
Стержень до удара покоился, поэтому
$\vec{v}_{ц.м.} = \frac{M \vec{v} }{M + M} = \frac{ \vec{v} }{2}$.
Из закона сохранения импульса следует, что скорость центра масс после удара не изменилась, т. е. осталась равной $\vec{v}/2$.
б) Момент количества движения системы относительно ее центра равен до удара $MvL/4$.
в) Момент количества движения системы после столкновения равен $I \omega$, где $I$ - момент инерции относительно центра масс, т. е.
$I = \frac{ML^{2} }{12} + 2M \frac{L^{2} }{16} = \frac{5}{24} ML^{2}$,
а $\omega$ - угловая скорость вращения относительно центра масс.
Из закона сохранения момента количества движения
$\frac{L}{4} Mv = \frac{5}{24} ML^{2} \omega$,
откуда
$\omega = \frac{6}{5} \frac{v}{L}$.
г) Так как скорость центра масс равна $v/2$, кинетическая энергия системы после удара
$T_{к} = \frac{1}{2} 2M \left ( \frac{v}{2} \right )^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{2}{5} Mv^{2}$.
Изменение кинетической энергии при ударе
$\Delta T = \frac{1}{2} Mv^{2} - T_{к} = 0,2T_{н}$
($T_{н} = \frac{1}{2}Mv^{2}$ - начальная кинетическая энергия системы).
