Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10801
2019-10-05 
1) Симметричное тело начинает катиться (без скольжения) вниз по наклонной плоскости с высоты $h$. Момент инерции тела относительно собственного центра масс равен $I$, масса $M$, радиус поверхности качения, находящейся в контакте с наклонной плоскостью, $r$. Определите линейную скорость центра масс в нижней точке наклонной плоскости.
2) Примените полученное вами общее выражение для определения скорости центра масс тела, если это тело а) сфера; б) диск; в) диск массы $M_{1}$ с внешним радиусом $R_{1}$, насаженный на вал массы $m_{2}$ и радиуса $r_{2}$.
Решение:
1) Согласно формуле, полученной в задаче 10704, кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии движения его центра масс и кинетической энергии тела в системе ц. м. Так как тело скатывается по наклонной плоскости без скольжения и ввиду симметрии тела относительно оси вращения.его центр масс находится на этой оси, движение тела в системе ц. м. представляет собой чистое вращение, угловая скорость которого $\omega = v/r$ ($v$ - скорость тела в произвольный момент времени). Таким образом, кинетическая энергия тела
$T = \frac{Mv^{2} }{2} + \frac{I \omega^{2} }{2}$,
где $I$ - момент инерции тела относительно оси вращения.
Величину скорости $v$ центра масс в нижней точке наклонной плоскости определим из закона сохранения энергии
$Mgh = \frac{Mv^{2} }{2} + \frac{Iv^{2} }{2r^{2} }$,
откуда
$v = \sqrt{ \frac{2Mgh}{M + \frac{I}{r^{2} } } }$.
2) Применим эту формулу для частных случаев, перечисленных в условии задачи,
а) Сфера:
$I = \frac{2}{3}Mr^{2}; v = \sqrt{ \frac{6}{5}gh }$.
б) Диск:
$I = \frac{Mr^{2} }{2}; v = \sqrt{ \frac{4}{3} gh }$.
в) Диск массы $M_{1}$ радиусом $R_{1}$, насаженный на вал массой $m_{2}$ и радиусом $r_{2}$:
$I = \frac{M_{1}R_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}r_{2}^{2} }{2}$,
$v = \sqrt{ \frac{2(M_{1} + m_{2} )gh }{ \frac{3}{2}M_{1} + m_{2} \left [ 1 + \left ( \frac{r_{2} }{R_{1}} \right )^{2} \right ] } }$.
1) Симметричное тело начинает катиться (без скольжения) вниз по наклонной плоскости с высоты $h$. Момент инерции тела относительно собственного центра масс равен $I$, масса $M$, радиус поверхности качения, находящейся в контакте с наклонной плоскостью, $r$. Определите линейную скорость центра масс в нижней точке наклонной плоскости.
2) Примените полученное вами общее выражение для определения скорости центра масс тела, если это тело а) сфера; б) диск; в) диск массы $M_{1}$ с внешним радиусом $R_{1}$, насаженный на вал массы $m_{2}$ и радиуса $r_{2}$.
Решение:
1) Согласно формуле, полученной в задаче 10704, кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии движения его центра масс и кинетической энергии тела в системе ц. м. Так как тело скатывается по наклонной плоскости без скольжения и ввиду симметрии тела относительно оси вращения.его центр масс находится на этой оси, движение тела в системе ц. м. представляет собой чистое вращение, угловая скорость которого $\omega = v/r$ ($v$ - скорость тела в произвольный момент времени). Таким образом, кинетическая энергия тела
$T = \frac{Mv^{2} }{2} + \frac{I \omega^{2} }{2}$,
где $I$ - момент инерции тела относительно оси вращения.
Величину скорости $v$ центра масс в нижней точке наклонной плоскости определим из закона сохранения энергии
$Mgh = \frac{Mv^{2} }{2} + \frac{Iv^{2} }{2r^{2} }$,
откуда
$v = \sqrt{ \frac{2Mgh}{M + \frac{I}{r^{2} } } }$.
2) Применим эту формулу для частных случаев, перечисленных в условии задачи,
а) Сфера:
$I = \frac{2}{3}Mr^{2}; v = \sqrt{ \frac{6}{5}gh }$.
б) Диск:
$I = \frac{Mr^{2} }{2}; v = \sqrt{ \frac{4}{3} gh }$.
в) Диск массы $M_{1}$ радиусом $R_{1}$, насаженный на вал массой $m_{2}$ и радиусом $r_{2}$:
$I = \frac{M_{1}R_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}r_{2}^{2} }{2}$,
$v = \sqrt{ \frac{2(M_{1} + m_{2} )gh }{ \frac{3}{2}M_{1} + m_{2} \left [ 1 + \left ( \frac{r_{2} }{R_{1}} \right )^{2} \right ] } }$.
