Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10798
2019-10-05 
Два тела с одинаковыми массами $m$, скрепленные жестким стержнем (не имеющим массы) на расстоянии $2r$ друг от друга, притягиваются гравитационным образом телом массы $M$, расположенным на расстоянии $R \gg r$ от центра стержня. Стержень составляет угол $\theta$ с направлением $R$. Найдите приближенную величину пары сил, приложенной к стержню, относительно его центра.
Решение:
Силы притяжения тел массы $m$ к массе $M$ равны
$F_{1} = \frac{GmM}{R_{1}^{2} } = \frac{GmM}{R^{2} + r^{2} - 2Rr \cos \theta } \approx \frac{GmM}{R^{2} \left ( 1 - 2 \frac{r}{R} \cos \theta \right ) } \approx \frac{GmM \left ( 1 + 2 \frac{r}{R} \cos \theta \right ) }{R^{2} }$
и
$F_{2} = \frac{GmM}{R_{2}^{2} } = \frac{GmM}{R^{2} + r^{2} + 2Rr \cos \theta } \approx \frac{GmM}{R^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{r}{R} \cos \theta \right )$.
При получении приближенных формул мы пренебрегли $r^{2}$ по сравнению с $R^{2}$ и учли, что $(r/R) \cos \theta \ll 1$, воспользовавшись соотношением $\frac{1}{1 \pm x} \approx 1 \mp x$ при $ \ll 1$. Вращающий момент $\tau$ равен разности моментов сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ относительно точки О, так что $| \tau| = F_{1}r \sin \theta - F_{2}r \sin \theta$ (плечи обеих сил приближенно равны $r \sin \theta$).
Подставляя вместо $F_{1}$ и $F_{2}$ их значения, получаем
$\tau = \frac{2GMmr^{2} }{R^{2} } \sin 2 \theta$.
Два тела с одинаковыми массами $m$, скрепленные жестким стержнем (не имеющим массы) на расстоянии $2r$ друг от друга, притягиваются гравитационным образом телом массы $M$, расположенным на расстоянии $R \gg r$ от центра стержня. Стержень составляет угол $\theta$ с направлением $R$. Найдите приближенную величину пары сил, приложенной к стержню, относительно его центра.
Решение:
Силы притяжения тел массы $m$ к массе $M$ равны
$F_{1} = \frac{GmM}{R_{1}^{2} } = \frac{GmM}{R^{2} + r^{2} - 2Rr \cos \theta } \approx \frac{GmM}{R^{2} \left ( 1 - 2 \frac{r}{R} \cos \theta \right ) } \approx \frac{GmM \left ( 1 + 2 \frac{r}{R} \cos \theta \right ) }{R^{2} }$
и
$F_{2} = \frac{GmM}{R_{2}^{2} } = \frac{GmM}{R^{2} + r^{2} + 2Rr \cos \theta } \approx \frac{GmM}{R^{2}} \left ( 1 - 2 \frac{r}{R} \cos \theta \right )$.
При получении приближенных формул мы пренебрегли $r^{2}$ по сравнению с $R^{2}$ и учли, что $(r/R) \cos \theta \ll 1$, воспользовавшись соотношением $\frac{1}{1 \pm x} \approx 1 \mp x$ при $ \ll 1$. Вращающий момент $\tau$ равен разности моментов сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ относительно точки О, так что $| \tau| = F_{1}r \sin \theta - F_{2}r \sin \theta$ (плечи обеих сил приближенно равны $r \sin \theta$).
Подставляя вместо $F_{1}$ и $F_{2}$ их значения, получаем
$\tau = \frac{2GMmr^{2} }{R^{2} } \sin 2 \theta$.
