Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10797
2019-10-05 
Маховик, имеющий форму однородной тонкой круглой пластинки массы 10,0 кг и радиуса 1,00 м, смонтирован на оси, проходящей через центр масс и составляющей угол $1^{ \circ}$ с перпендикуляром, восстановленным к плоскости маховика. Если последний вращается относительно этой оси с угловой скоростью 26,0 рад/сек, то чему равна пара сил, приложенная к его подшипникам?
Решение:
Направим ось $y$ вдоль вектора угловой скорости маховика (т. е. по оси вращения). Введем также другую систему координат $x^{ \prime}y^{ \prime}$, ось $y^{ \prime}$ которой перпендикулярна плоскости диска, а $x^{ \prime}$ лежит в этой плоскости. Компоненты угловой скорости в этой системе
$\omega_{x^{ \prime}} + \omega \sin \alpha, \omega_{y^{ \prime} } = \omega \cos \alpha, \omega_{z^{ \prime} } = 0$
($\alpha$ - угол между осью вращения и осью $y^{ \prime}$). Компоненты момента количества движения в штрихованной системе координат равны
$L_{y^{ \prime} } = I_{y^{ \prime} } \omega_{y^{ \prime} } = \frac{MR^{2} }{2} \omega \cos \alpha$,
$L_{x^{ \prime} } = I_{x^{ \prime} } \omega_{x^{ \prime} } = \frac{MR^{2} }{4} \omega \sin \alpha$,
$L_{z^{ \prime} } = 0$
($M$ - масса диска, $R$ - его радиус).
При вычислении момента инерции диска относительно оси $x^{ \prime}$ мы воспользовались тем, что $I_{y^{ \prime} } = I_{x^{ \prime}} + I_{z^{ \prime}}$. Ввиду симметрии диска, $I_{x^{ \prime} } = I_{z^{ \prime}}$, так что $I_{x^{ \prime} } = I_{y^{ \prime} } /2 = MR^{2}/4$.
Вектор момента количества движения образует с осью $y$ угол $\beta$, причем
$tg ( \alpha - \beta) = \frac{L_{x^{ \prime} } }{L_{y^{ \prime} } } = \frac{1}{2} tg \alpha$.
Так как углы $\alpha$ и $\beta$ малы, можно положить $tg ( \alpha - \beta) \approx \alpha - \beta$, a $tg \alpha \approx \alpha$, так что $\alpha - \beta =1/2 \alpha$, откуда $\beta = 1/2 \alpha$. В нештрихованной системе координат вектор количества движения $\vec{L}$ вращается вокруг оси $y$ с угловой скоростью $\omega$. Следовательно, его $x$0 и $z$-компоненты меняются со временем по закону (фиг.)
$L_{z} = L \beta \cos \omega t; L_{x} = L \beta \sin \omega t$,
где
$L = \sqrt{ L_{x^{ \prime} }^{2} + L_{y^{ \prime}}^{2}} = \frac{mR^{2} }{4} \omega \sqrt{5}$.
Значит, на маховик действует момент сил $\vec{ \tau} = d \vec{L}/dt$, компоненты которого
$\tau_{x} = \frac{d L_{x}}{dt} = L \beta \omega \cos \omega t$,
$\tau_{z} = \frac{d L_{z}}{dt} = - L \beta \omega \sin \omega t$,
$\tau_{y} = 0$,
а модуль равен
$\tau = L \omega \beta = \omega^{2} \frac{MR^{2} \sqrt{5} }{8} \alpha = 1,22 ньютон \cdot м$.
Маховик, имеющий форму однородной тонкой круглой пластинки массы 10,0 кг и радиуса 1,00 м, смонтирован на оси, проходящей через центр масс и составляющей угол $1^{ \circ}$ с перпендикуляром, восстановленным к плоскости маховика. Если последний вращается относительно этой оси с угловой скоростью 26,0 рад/сек, то чему равна пара сил, приложенная к его подшипникам?
Решение:
Направим ось $y$ вдоль вектора угловой скорости маховика (т. е. по оси вращения). Введем также другую систему координат $x^{ \prime}y^{ \prime}$, ось $y^{ \prime}$ которой перпендикулярна плоскости диска, а $x^{ \prime}$ лежит в этой плоскости. Компоненты угловой скорости в этой системе
$\omega_{x^{ \prime}} + \omega \sin \alpha, \omega_{y^{ \prime} } = \omega \cos \alpha, \omega_{z^{ \prime} } = 0$
($\alpha$ - угол между осью вращения и осью $y^{ \prime}$). Компоненты момента количества движения в штрихованной системе координат равны
$L_{y^{ \prime} } = I_{y^{ \prime} } \omega_{y^{ \prime} } = \frac{MR^{2} }{2} \omega \cos \alpha$,
$L_{x^{ \prime} } = I_{x^{ \prime} } \omega_{x^{ \prime} } = \frac{MR^{2} }{4} \omega \sin \alpha$,
$L_{z^{ \prime} } = 0$
($M$ - масса диска, $R$ - его радиус).
При вычислении момента инерции диска относительно оси $x^{ \prime}$ мы воспользовались тем, что $I_{y^{ \prime} } = I_{x^{ \prime}} + I_{z^{ \prime}}$. Ввиду симметрии диска, $I_{x^{ \prime} } = I_{z^{ \prime}}$, так что $I_{x^{ \prime} } = I_{y^{ \prime} } /2 = MR^{2}/4$.
Вектор момента количества движения образует с осью $y$ угол $\beta$, причем
$tg ( \alpha - \beta) = \frac{L_{x^{ \prime} } }{L_{y^{ \prime} } } = \frac{1}{2} tg \alpha$.
Так как углы $\alpha$ и $\beta$ малы, можно положить $tg ( \alpha - \beta) \approx \alpha - \beta$, a $tg \alpha \approx \alpha$, так что $\alpha - \beta =1/2 \alpha$, откуда $\beta = 1/2 \alpha$. В нештрихованной системе координат вектор количества движения $\vec{L}$ вращается вокруг оси $y$ с угловой скоростью $\omega$. Следовательно, его $x$0 и $z$-компоненты меняются со временем по закону (фиг.)
$L_{z} = L \beta \cos \omega t; L_{x} = L \beta \sin \omega t$,
где
$L = \sqrt{ L_{x^{ \prime} }^{2} + L_{y^{ \prime}}^{2}} = \frac{mR^{2} }{4} \omega \sqrt{5}$.
Значит, на маховик действует момент сил $\vec{ \tau} = d \vec{L}/dt$, компоненты которого
$\tau_{x} = \frac{d L_{x}}{dt} = L \beta \omega \cos \omega t$,
$\tau_{z} = \frac{d L_{z}}{dt} = - L \beta \omega \sin \omega t$,
$\tau_{y} = 0$,
а модуль равен
$\tau = L \omega \beta = \omega^{2} \frac{MR^{2} \sqrt{5} }{8} \alpha = 1,22 ньютон \cdot м$.
