Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10796
2019-10-05 
Два однородных одинаковых жестких стержня АВ и АС скреплены в точке $A (AC \perp AB)$ и перемещаются на гладком горизонтальном столе. В точке С перпендикулярно АС наносится горизонтальный удар. Найдите отношение скоростей центров масс стержней АВ и АС немедленно после удара.
Решение:
Центр масс системы двух стержней находится в точке О, делящей отрезок $O_{1}O_{2}$ пополам ($O_{1}, O_{2}$ - центры стержней). После удара в точку С стержни придут в движение, которое можно разложить на два: поступательное движение системы как целого со скоростью $v$ по линии удара и вращательное вокруг центра масс О с некоторой угловой скоростью $\omega$. Пусть $m$ и $l$ - масса и длина каждого из стержней, а $p$ - переданный в результате удара импульс. Из закона сохранения импульса $2mv = p$ следует, что скорость поступательного движения системы равна $v = p/2m$, а из закона сохранения момента количества движения $I \omega = pDC$, что $\omega = \frac{3pl}{4I} (DC = \frac{3}{4} l$), где $I$ - момент инерции стержней относительно центра масс системы.
Из прямоугольного треугольника $O_{1}AO_{2}$ легко найти, что
$OO_{1} = \frac{1}{2} O_{1}O_{2} = \frac{l}{2 \sqrt{2} }$.
Поэтому
$I = 2 \left ( \frac{ml^{2} }{12} + \frac{ml^{2} }{8} \right ) = \frac{5}{12} ml^{2}$ и $\omega = \frac{9}{5} \frac{p}{ml}$.
Линейные скорости центров масс стержней $O_{1}$ и $O_{2}$, возникающие за счет вращательного движения, равны по модулю
$u = \omega O_{1}O = \frac{9}{10 \sqrt{2} } \frac{p}{m}$
и направлены перпендикулярно линии $O_{1}O_{2}$. В системе координат, изображенной на рисунке, скорость поступательного движения имеет только х-составляющую, а вращательные скорости точек $O_{1}$ и $O_{2}$ образуют угол $45^{ \circ}$ с осями координат. Результирующие скорости центров масс стержней $v_{1}$ и $v_{2}$ равны векторной сумме скорости центра масс системы в целом и скорости, приобретенной центрами масс стержней за счет вращательного движения. Имеем
$v_{1}^{x} = v - \frac{1}{ \sqrt{2} } u = \frac{1}{20} \frac{p}{m}, v_{1}^{y} = - \frac{1}{ \sqrt{2} } u = - \frac{9}{20} \frac{p}{m}$;
$v_{2}^{x} = v + \frac{1}{ \sqrt{2} } u = \frac{19}{20} \frac{p}{m}, v_{2}^{y} = \frac{1}{ \sqrt{2} } u = - \frac{9}{20} \frac{p}{m}$;
Отношение модулей скоростей равно
$\frac{v_{1} }{v_{2} } = \frac{ \sqrt{(v_{1}^{x} )^{2} + (v_{1}^{y} )^{2} } }{ \sqrt{ (v_{2}^{x} )^{2} + (v_{2}^{y} )^{2} } } \approx 0,43$
Два однородных одинаковых жестких стержня АВ и АС скреплены в точке $A (AC \perp AB)$ и перемещаются на гладком горизонтальном столе. В точке С перпендикулярно АС наносится горизонтальный удар. Найдите отношение скоростей центров масс стержней АВ и АС немедленно после удара.
Решение:
Центр масс системы двух стержней находится в точке О, делящей отрезок $O_{1}O_{2}$ пополам ($O_{1}, O_{2}$ - центры стержней). После удара в точку С стержни придут в движение, которое можно разложить на два: поступательное движение системы как целого со скоростью $v$ по линии удара и вращательное вокруг центра масс О с некоторой угловой скоростью $\omega$. Пусть $m$ и $l$ - масса и длина каждого из стержней, а $p$ - переданный в результате удара импульс. Из закона сохранения импульса $2mv = p$ следует, что скорость поступательного движения системы равна $v = p/2m$, а из закона сохранения момента количества движения $I \omega = pDC$, что $\omega = \frac{3pl}{4I} (DC = \frac{3}{4} l$), где $I$ - момент инерции стержней относительно центра масс системы.
Из прямоугольного треугольника $O_{1}AO_{2}$ легко найти, что
$OO_{1} = \frac{1}{2} O_{1}O_{2} = \frac{l}{2 \sqrt{2} }$.
Поэтому
$I = 2 \left ( \frac{ml^{2} }{12} + \frac{ml^{2} }{8} \right ) = \frac{5}{12} ml^{2}$ и $\omega = \frac{9}{5} \frac{p}{ml}$.
Линейные скорости центров масс стержней $O_{1}$ и $O_{2}$, возникающие за счет вращательного движения, равны по модулю
$u = \omega O_{1}O = \frac{9}{10 \sqrt{2} } \frac{p}{m}$
и направлены перпендикулярно линии $O_{1}O_{2}$. В системе координат, изображенной на рисунке, скорость поступательного движения имеет только х-составляющую, а вращательные скорости точек $O_{1}$ и $O_{2}$ образуют угол $45^{ \circ}$ с осями координат. Результирующие скорости центров масс стержней $v_{1}$ и $v_{2}$ равны векторной сумме скорости центра масс системы в целом и скорости, приобретенной центрами масс стержней за счет вращательного движения. Имеем
$v_{1}^{x} = v - \frac{1}{ \sqrt{2} } u = \frac{1}{20} \frac{p}{m}, v_{1}^{y} = - \frac{1}{ \sqrt{2} } u = - \frac{9}{20} \frac{p}{m}$;
$v_{2}^{x} = v + \frac{1}{ \sqrt{2} } u = \frac{19}{20} \frac{p}{m}, v_{2}^{y} = \frac{1}{ \sqrt{2} } u = - \frac{9}{20} \frac{p}{m}$;
Отношение модулей скоростей равно
$\frac{v_{1} }{v_{2} } = \frac{ \sqrt{(v_{1}^{x} )^{2} + (v_{1}^{y} )^{2} } }{ \sqrt{ (v_{2}^{x} )^{2} + (v_{2}^{y} )^{2} } } \approx 0,43$
