Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10795
2019-10-05 
а) Любые три вектора $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ можно рассматривать как определяющие твердое тело с шестью попарно параллельными плоскостями, т. е. параллелепипед. Покажите, что объем этого тела равен
$V = | \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C}) |$.
б) Параллелепипед, одна из вершин которого находится в начале координат, имеет три соседние вершины в точках (10, -5, 3), (3, -4, 7) и (-5, -6, 3). Используется прямоугольная система координат (х, у, z). Чему равен объем параллелепипеда?
Решение:
а) Объем $V$ параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $V = SH$.
Обозначим угол между сторонами А и В основания через $\alpha$. Величина площади основания равна
$S = AB \sin \alpha = | \vec{A} \times \vec{B} |$.
Вектор $S = \vec{A} \times \vec{B}$ направлен перпендикулярно векторам $\vec{A}$ и $\vec{B}$, т. е. его направление совпадает с нормалью к основанию.
Если угол между $\vec{S}$ и $\vec{C}$ равен $\theta$, то $V = SH = SC \cos \theta = \vec{C} \cdot \vec{S} = | \vec{C} ( \vec{A} \times \vec{B})|$.
б) Параллелепипед определен тремя векторами:
$\vec{a} = 10 \vec{i} - 5 \vec{j} + 3 \vec{k}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} + 7 \vec{k}, \vec{c} = - 5 \vec{i} - 6 \vec{j} - 3 \vec{k}$.
Следовательно, его объем есть абсолютная величина детерминанта
$V = \begin{vmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{vmatrix} = 406$ единиц обьема.
а) Любые три вектора $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ можно рассматривать как определяющие твердое тело с шестью попарно параллельными плоскостями, т. е. параллелепипед. Покажите, что объем этого тела равен
$V = | \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C}) |$.
б) Параллелепипед, одна из вершин которого находится в начале координат, имеет три соседние вершины в точках (10, -5, 3), (3, -4, 7) и (-5, -6, 3). Используется прямоугольная система координат (х, у, z). Чему равен объем параллелепипеда?
Решение:
а) Объем $V$ параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: $V = SH$.
Обозначим угол между сторонами А и В основания через $\alpha$. Величина площади основания равна
$S = AB \sin \alpha = | \vec{A} \times \vec{B} |$.
Вектор $S = \vec{A} \times \vec{B}$ направлен перпендикулярно векторам $\vec{A}$ и $\vec{B}$, т. е. его направление совпадает с нормалью к основанию.
Если угол между $\vec{S}$ и $\vec{C}$ равен $\theta$, то $V = SH = SC \cos \theta = \vec{C} \cdot \vec{S} = | \vec{C} ( \vec{A} \times \vec{B})|$.
б) Параллелепипед определен тремя векторами:
$\vec{a} = 10 \vec{i} - 5 \vec{j} + 3 \vec{k}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j} + 7 \vec{k}, \vec{c} = - 5 \vec{i} - 6 \vec{j} - 3 \vec{k}$.
Следовательно, его объем есть абсолютная величина детерминанта
$V = \begin{vmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{vmatrix} = 406$ единиц обьема.
