Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10794
2019-10-05 
Система $N$ частиц с массами $m$, координатами $\vec{r}_{i}$ и скоростями $\vec{v}_{i}$ обладает моментом количества движения, равным
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{N} ( \vec{r}_{i} \times \vec{p}_{i}) = \sum_{i} m_{i}( \vec{r}_{i} \times \vec{v}_{i})$.
Если же рассматривать систему координат, жестко связанную с центром масс, то можно считать, что система имеет момент количества движения $\vec{L}_{ц.м.}$. Пусть $\vec{R}_{ц.м.}$ и $\vec{v}_{ц.м.}$ - это положение и скорость центра масс, а $M = \sum_{i = 1}^{N}$ - общая масса всех частиц. Покажите, что
$\vec{L} = \vec{L}_{ц.м.} + M(R_{ц.м.} \times \vec{v}_{ц.м.})$.
Решение:
\Обозначим через $\vec{r}^{ \prime}$ координаты частиц в системе ц. м. Очевидно,
$\vec{r}_{i} = \vec{R}_{ц.м.} + \vec{r}_{i}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{i} = \dot{ \vec{r} }_{i} = \vec{v}_{ц.м.} + \vec{v}_{i}^{ \prime}$.
Момент количества движения системы частиц равен
$\vec{L} = \sum_{i} m_{i} ( \vec{R}_{ц.м.} + \vec{r}_{i}^{ \prime} \times ( \vec{v}_{ц.м.} + \vec{v}_{i}^{ \prime}) = \sum_{i} m_{i} \vec{R}_{ц.м.} \times \vec{v}_{ц.м.} + \vec{v}_{ц.м.} \times \sum_{i} m_{i} \vec{r}_{i}^{ \prime} + \sum_{i} m_{i} \vec{r}_{i}^{ \prime} \times \vec{v}_{i}^{ \prime} + \vec{R}_{ц.м.} \times \sum_{i} m_{i} \vec{v}_{i}^{ \prime}$.
Так как $\sum m_{i} \vec{r}_{i}^{ \prime} = 0$ и $\sum m_{i} \vec{v}_{i}^{ \prime} = 0$ по определению центра масс системы,
$\vec{L} = \vec{L}_{ц.м.} + M \vec{R}_{ц.м.} \times \vec{v}_{ц.м.}$
Система $N$ частиц с массами $m$, координатами $\vec{r}_{i}$ и скоростями $\vec{v}_{i}$ обладает моментом количества движения, равным
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{N} ( \vec{r}_{i} \times \vec{p}_{i}) = \sum_{i} m_{i}( \vec{r}_{i} \times \vec{v}_{i})$.
Если же рассматривать систему координат, жестко связанную с центром масс, то можно считать, что система имеет момент количества движения $\vec{L}_{ц.м.}$. Пусть $\vec{R}_{ц.м.}$ и $\vec{v}_{ц.м.}$ - это положение и скорость центра масс, а $M = \sum_{i = 1}^{N}$ - общая масса всех частиц. Покажите, что
$\vec{L} = \vec{L}_{ц.м.} + M(R_{ц.м.} \times \vec{v}_{ц.м.})$.
Решение:
\Обозначим через $\vec{r}^{ \prime}$ координаты частиц в системе ц. м. Очевидно,
$\vec{r}_{i} = \vec{R}_{ц.м.} + \vec{r}_{i}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{i} = \dot{ \vec{r} }_{i} = \vec{v}_{ц.м.} + \vec{v}_{i}^{ \prime}$.
Момент количества движения системы частиц равен
$\vec{L} = \sum_{i} m_{i} ( \vec{R}_{ц.м.} + \vec{r}_{i}^{ \prime} \times ( \vec{v}_{ц.м.} + \vec{v}_{i}^{ \prime}) = \sum_{i} m_{i} \vec{R}_{ц.м.} \times \vec{v}_{ц.м.} + \vec{v}_{ц.м.} \times \sum_{i} m_{i} \vec{r}_{i}^{ \prime} + \sum_{i} m_{i} \vec{r}_{i}^{ \prime} \times \vec{v}_{i}^{ \prime} + \vec{R}_{ц.м.} \times \sum_{i} m_{i} \vec{v}_{i}^{ \prime}$.
Так как $\sum m_{i} \vec{r}_{i}^{ \prime} = 0$ и $\sum m_{i} \vec{v}_{i}^{ \prime} = 0$ по определению центра масс системы,
$\vec{L} = \vec{L}_{ц.м.} + M \vec{R}_{ц.м.} \times \vec{v}_{ц.м.}$
