Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10791
2019-10-05 
Поворотный стол с моментом инерции $I_{0}$ свободно вращается вокруг вертикальной оси. На столе проложена прямолинейная радиальная дорожка, по которой может без трения двигаться тележка массы $m$ (см. рисунок). Нить, привязанная к тележке, перекинута через маленький блок, а затем уходит под стол через полую ось. Первоначально система вращается с угловой скоростью $\omega_{0}$, и тележка находится на фиксированном расстоянии $R$ от оси. Затем нить некоторой внешней силой втягивается внутрь оси на такое расстояние, что тележка теперь отделена от оси меньшим промежутком $r$ и остается в этом положении.
а) Чему равна угловая скорость системы в конечном состоянии?
б) Покажите подробно, что разность между значениями энергии системы в конечном и начальном состояниях равна работе, которую совершила сила, вытягивающая нить.
в) Если нить отпустить, с какой радиальной скоростью $v_{r}$ пройдет тележка через точку $R$?
Решение:
а) Из закона сохранения момента количества движения
$(I_{0} + mR^{2}) \omega_{0} = (I_{0} + mr^{2}) \omega$,
так что
$\omega = \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mr^{2} } \omega_{0}$.
б) Изменение кинетической энергии системы равно
$\frac{1}{2} (I_{0} + mr^{2}) \omega^{2} - \frac{1}{2} (I_{0} + mR^{2} ) \omega_{0}^{2} = \frac{ \omega_{0}^{2} }{2} (I_{0} + mR^{2} ) \left [ \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mr^{2} } - 1 \right ]$.
С другой стороны, чтобы удержать вращающуюся с угловой скоростью $\omega$ массу $m$ на расстоянии $x$ от оси вращения, необходимо приложить к нити силу
$F = m \omega^{2}x = \left ( \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mx^{2} } \right )^{2} m \omega_{0}^{2}x$.
Работа этой силы при изменении $x$ от $R$ до $r$ есть
$W = \int_{R}^{r} Fdx = (I_{0} + mR^{2})^{2} \omega_{0}^{2} \int_{R}^{r} \frac{mx dx}{(I_{0} + mx^{2} )^{2} } = \frac{ \omega_{0}^{2} }{2} (I_{0} + mR^{2} ) \left [ \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mr^{2} } - 1 \right ]$,
что равно разности кинетических энергий системы в конечном и начальном состояниях.
в) В системе координат, вращающейся вместе со столом, скорость тележки увеличивается благодаря действию центробежной силы, так что в этой системе кинетическая энергия тележки в точке $R$ равна вычисленной в пункте (б) работе $W$, т. е.
$\frac{mv_{r}^{2} }{2} = W$.
откуда
$v_{r}^{2} = \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mr^{2} } (R^{2} - r^{2} ) \omega_{0}^{2}$.
Поворотный стол с моментом инерции $I_{0}$ свободно вращается вокруг вертикальной оси. На столе проложена прямолинейная радиальная дорожка, по которой может без трения двигаться тележка массы $m$ (см. рисунок). Нить, привязанная к тележке, перекинута через маленький блок, а затем уходит под стол через полую ось. Первоначально система вращается с угловой скоростью $\omega_{0}$, и тележка находится на фиксированном расстоянии $R$ от оси. Затем нить некоторой внешней силой втягивается внутрь оси на такое расстояние, что тележка теперь отделена от оси меньшим промежутком $r$ и остается в этом положении.
а) Чему равна угловая скорость системы в конечном состоянии?
б) Покажите подробно, что разность между значениями энергии системы в конечном и начальном состояниях равна работе, которую совершила сила, вытягивающая нить.
в) Если нить отпустить, с какой радиальной скоростью $v_{r}$ пройдет тележка через точку $R$?
Решение:
а) Из закона сохранения момента количества движения
$(I_{0} + mR^{2}) \omega_{0} = (I_{0} + mr^{2}) \omega$,
так что
$\omega = \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mr^{2} } \omega_{0}$.
б) Изменение кинетической энергии системы равно
$\frac{1}{2} (I_{0} + mr^{2}) \omega^{2} - \frac{1}{2} (I_{0} + mR^{2} ) \omega_{0}^{2} = \frac{ \omega_{0}^{2} }{2} (I_{0} + mR^{2} ) \left [ \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mr^{2} } - 1 \right ]$.
С другой стороны, чтобы удержать вращающуюся с угловой скоростью $\omega$ массу $m$ на расстоянии $x$ от оси вращения, необходимо приложить к нити силу
$F = m \omega^{2}x = \left ( \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mx^{2} } \right )^{2} m \omega_{0}^{2}x$.
Работа этой силы при изменении $x$ от $R$ до $r$ есть
$W = \int_{R}^{r} Fdx = (I_{0} + mR^{2})^{2} \omega_{0}^{2} \int_{R}^{r} \frac{mx dx}{(I_{0} + mx^{2} )^{2} } = \frac{ \omega_{0}^{2} }{2} (I_{0} + mR^{2} ) \left [ \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mr^{2} } - 1 \right ]$,
что равно разности кинетических энергий системы в конечном и начальном состояниях.
в) В системе координат, вращающейся вместе со столом, скорость тележки увеличивается благодаря действию центробежной силы, так что в этой системе кинетическая энергия тележки в точке $R$ равна вычисленной в пункте (б) работе $W$, т. е.
$\frac{mv_{r}^{2} }{2} = W$.
откуда
$v_{r}^{2} = \frac{I_{0} + mR^{2} }{I_{0} + mr^{2} } (R^{2} - r^{2} ) \omega_{0}^{2}$.
