ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-10-05   
Катушка состоит из двух одинаковых дисков радиуса $R$ и массы $M$, насаженных на невесомую ось радиуса $r$. Нить, намотанная на ось катушки, прикреплена к потолку. Расстояние от катушки до потолка равно $D$ (см. рисунок). Из этого состояния катушка начинает двигаться вниз.
а) Какой угол должна образовать нить с вертикалью в начальный момент, чтобы, опускаясь, катушка не раскачивалась?
б) Каково вертикальное ускорение центра катушки?



Решение:


а) На катушку действует сила веса, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная по нити. Катушка не будет раскачиваться, если нет горизонтальных сил, т. е. если нить вертикальна.

б) Запишем уравнение движения катушки:
для поступательного

$2Ma = 2Mg - T$,

для вращательного

$I \epsilon = Tr$;

здесь $a$ - ускорение центра масс катушки, $\epsilon$ - ее угловое ускорение. Учитывая, что $\epsilon = a/r$ и $I = MR^{2}$, уравнения движения перепишем в виде

$MR^{2}a = T$,
$2Ma = - T + 2Mg$,

откуда

$a = \frac{g}{1 + \frac{1}{2} \frac{R^{2} }{r^{2} } }$.