Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10789
2019-10-05 
Из квадратной металлической пластинки с длиной ребра $a$ необходимо вырезать с одной стороны равнобедренный треугольник так, чтобы оставшаяся фигура, будучи подвешена за точку Р (вершину треугольника), оставалась в равновесии независимо от положения. Чему равна высота треугольника?
Решение:
Поскольку вся фигура, подвешенная в точке Р, находится в равновесии независимо от ее положения, точка Р является ее центром масс.
Пусть высота вырезанного треугольника равна $h$. Его центр масс находится на расстоянии $2/3h$ от Р. Центр масс полученной фигуры и вырезанного треугольника находится в точке О, следовательно (см. задачу 10785),
$\left ( a^{2} - \frac{1}{2} ah \right ) \left ( h - \frac{a}{2} \right ) = \frac{ah}{2} \left ( \frac{a}{2} - \frac{h}{3} \right )$.
Из этого соотношения получаем квадратное уравнение для $h$
$2h^{3} - 6ah + 3a^{2} = 0$,
откуда
$h = \frac{a(3 \pm \sqrt{3})}{a}$.
Так как по смыслу задачи $h < a$, в качестве решения выбираем меньший корень квадратного уравнения, т. е. $h = 0,63a$.
Из квадратной металлической пластинки с длиной ребра $a$ необходимо вырезать с одной стороны равнобедренный треугольник так, чтобы оставшаяся фигура, будучи подвешена за точку Р (вершину треугольника), оставалась в равновесии независимо от положения. Чему равна высота треугольника?
Решение:
Поскольку вся фигура, подвешенная в точке Р, находится в равновесии независимо от ее положения, точка Р является ее центром масс.
Пусть высота вырезанного треугольника равна $h$. Его центр масс находится на расстоянии $2/3h$ от Р. Центр масс полученной фигуры и вырезанного треугольника находится в точке О, следовательно (см. задачу 10785),
$\left ( a^{2} - \frac{1}{2} ah \right ) \left ( h - \frac{a}{2} \right ) = \frac{ah}{2} \left ( \frac{a}{2} - \frac{h}{3} \right )$.
Из этого соотношения получаем квадратное уравнение для $h$
$2h^{3} - 6ah + 3a^{2} = 0$,
откуда
$h = \frac{a(3 \pm \sqrt{3})}{a}$.
Так как по смыслу задачи $h < a$, в качестве решения выбираем меньший корень квадратного уравнения, т. е. $h = 0,63a$.
