Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10788
2019-10-05 
Цилиндр, радиус которого $\pi см$, а масса 3 кг, разрезан на три равные части. То же самое сделано с другим цилиндром радиусом $\pi см$, но весом уже 6 кг. Эти куски склеены друг с другом, как показано на рисунке, причем линия ОА направлена горизонтально. Стенка абсолютно гладкая, а «пол» - абсолютно шероховатый.
а) С какой силой цилиндр давит на стенку?
б) На каком расстоянии от центра на линии ОА следует поместить материальную точку массы $m$, чтобы система оставалась в равновесии и после удаления стенки?
Решение:
а) Определим положение центра масс, получившегося после склеивания тела. Как было показано в предыдущей задаче, центр масс сектора лежит на его биссектрисе на расстоянии $\frac{4}{3} \frac{R}{ \alpha} \sin \frac{ \alpha}{2}$ от центра окружности. (В нашем случае это расстояние равно $\sqrt{3}$ см, так как $R = \pi$ см и $\alpha = 2 \pi/3$.) Биссектриса сектора массы $2M$ направлена горизонтально, поэтому координаты центра масс этого тела $x_{2} = - \sqrt{3} см, y_{2} = 0$. Биссектриса сектора массы $M$ образует угол $30^{ \circ}$ с вертикалью, так что координаты $x_{1}$ и $y_{1}$ центра масс этого сектора равны:
$x_{1} = \sqrt{3} \sin 30^{ \circ} = \frac{ \sqrt{3} }{2} см, y_{1} = - \sqrt{3} \cos 30^{ \circ} = - \frac{3}{2} см$.
Следовательно, координаты центра масс тела, получившегося после склеивания двух частей, есть
$X = \frac{Mx_{1} +2Mx_{2} }{2 + 2M } = - \frac{ \sqrt{3} }{2}$ см,
$Y = \frac{My_{1} + 2My_{2} }{M + 2M} = - \frac{1}{2}$ см.
Рассмотрим силы, действующие на тело. Это сила тяжести, приложенная в центре масс тела, силы давления пола и стенки $P$ и $N$ и сила трения о пол $F_{тр}$. Эти силы приложены в точках соприкосновения тела со стенкой и полом и направлены так, как это показано на рисунке. Так как тело находится в равновесии, геометрическая сумма всех сил равна нулю; сумма моментов этих сил, например относительно точки О, также равна нулю. Это дает
$P = 3Mg, N = F_{тр}$ и $\pi F_{тр} = - X \cdot 3Mg$,
откуда
$N = \frac{3 \sqrt{3} }{2 \pi} Mg$.
Поскольку $M = 1 кг$, тело давит на стенку с силой $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \pi$ кГ.
б) Если поместить на линию ОА массу $m$ на расстоянии $r$ от точки О, то система останется в равновесии, если будут равны друг другу моменты сил веса составного тела и шарика относительно точки соприкосновения тела и пола:
$mgr = 3XMg$,
что дает
$r = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{M}{m}$.
Цилиндр, радиус которого $\pi см$, а масса 3 кг, разрезан на три равные части. То же самое сделано с другим цилиндром радиусом $\pi см$, но весом уже 6 кг. Эти куски склеены друг с другом, как показано на рисунке, причем линия ОА направлена горизонтально. Стенка абсолютно гладкая, а «пол» - абсолютно шероховатый.
а) С какой силой цилиндр давит на стенку?
б) На каком расстоянии от центра на линии ОА следует поместить материальную точку массы $m$, чтобы система оставалась в равновесии и после удаления стенки?
Решение:
а) Определим положение центра масс, получившегося после склеивания тела. Как было показано в предыдущей задаче, центр масс сектора лежит на его биссектрисе на расстоянии $\frac{4}{3} \frac{R}{ \alpha} \sin \frac{ \alpha}{2}$ от центра окружности. (В нашем случае это расстояние равно $\sqrt{3}$ см, так как $R = \pi$ см и $\alpha = 2 \pi/3$.) Биссектриса сектора массы $2M$ направлена горизонтально, поэтому координаты центра масс этого тела $x_{2} = - \sqrt{3} см, y_{2} = 0$. Биссектриса сектора массы $M$ образует угол $30^{ \circ}$ с вертикалью, так что координаты $x_{1}$ и $y_{1}$ центра масс этого сектора равны:
$x_{1} = \sqrt{3} \sin 30^{ \circ} = \frac{ \sqrt{3} }{2} см, y_{1} = - \sqrt{3} \cos 30^{ \circ} = - \frac{3}{2} см$.
Следовательно, координаты центра масс тела, получившегося после склеивания двух частей, есть
$X = \frac{Mx_{1} +2Mx_{2} }{2 + 2M } = - \frac{ \sqrt{3} }{2}$ см,
$Y = \frac{My_{1} + 2My_{2} }{M + 2M} = - \frac{1}{2}$ см.
Рассмотрим силы, действующие на тело. Это сила тяжести, приложенная в центре масс тела, силы давления пола и стенки $P$ и $N$ и сила трения о пол $F_{тр}$. Эти силы приложены в точках соприкосновения тела со стенкой и полом и направлены так, как это показано на рисунке. Так как тело находится в равновесии, геометрическая сумма всех сил равна нулю; сумма моментов этих сил, например относительно точки О, также равна нулю. Это дает
$P = 3Mg, N = F_{тр}$ и $\pi F_{тр} = - X \cdot 3Mg$,
откуда
$N = \frac{3 \sqrt{3} }{2 \pi} Mg$.
Поскольку $M = 1 кг$, тело давит на стенку с силой $\frac{3 \sqrt{3}}{2} \pi$ кГ.
б) Если поместить на линию ОА массу $m$ на расстоянии $r$ от точки О, то система останется в равновесии, если будут равны друг другу моменты сил веса составного тела и шарика относительно точки соприкосновения тела и пола:
$mgr = 3XMg$,
что дает
$r = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \frac{M}{m}$.
