Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10786
2019-10-05 
Найдите положение центра масс однородной проволоки, изогнутой по дуге окружности радиуса $R$. Длина проволоки $L (R > L/2 \pi)$. Используйте систему координат с началом в центре окружности и с осью х, проходящей через середину проволоки.
Решение:
Выберем систему координат, как рекомендовано в условии задачи. Так как проволока расположена симметрично относительно оси х, то, очевидно, $y_{ц. м.} = 0$. По определению центра масс
$x_{ц.м.} = \frac{ \int xdm }{ \int dm}$;
Масса проволоки бесконечно малой длины $dl$ равна $\rho dl$, где $\rho = M/L$ - масса единицы длины проволоки, поэтому
$x_{ц.м.} = \frac{1}{L} \int xdl$.
Вычислять такой интеграл в прямоугольной системе координат довольно громоздко. Эти вычисления значительно упрощаются, если заметить, что для произвольной точки проволоки, радиус-вектор которой образует угол $\phi$ а осью $y, x = R \cos \phi$, a $dl = Rd \phi$ (см. рисунок). Чтобы были учтены все точки проволоки, угол $\phi$ должен пробегать значения от $( \pi - \alpha)/2$ до $( \pi + \alpha )/2$, где $\alpha = L/R$ - угол между радиусами-векторами концов проволоки.
Таким образом,
$x_{ц.м.} = \frac{R^{2} }{L} \int_{ \frac{ \pi - \alpha}{2} }^{ \frac{ \pi + \alpha}{2} } \cos \phi d \phi = \frac{2R^{2} }{L} \sin \frac{ \alpha}{2} = R \left ( \frac{2R}{L} \right ) \sin \frac{L}{2R}$.
Этот же результат может быть получен из теоремы Паппа. При вращении проволоки вокруг оси у получается шаровой пояс площадью
$2 \pi R \cdot 2R \cos \left ( \frac{ \pi - \alpha}{2} \right ) = 4 \pi R^{2} \sin \frac{ \alpha}{2}$.
Центр масс проволоки описывает окружность длины $2 \pi x_{ц.м.}$, так что
$4 \pi R^{2} \sin \frac{ \alpha}{2} = 2 \pi x_{ц.м.} L$,
откуда
$x_{ц.м.} = R \left ( \frac{2R}{L} \right ) \sin \frac{L}{2R}$.
Найдите положение центра масс однородной проволоки, изогнутой по дуге окружности радиуса $R$. Длина проволоки $L (R > L/2 \pi)$. Используйте систему координат с началом в центре окружности и с осью х, проходящей через середину проволоки.
Решение:
Выберем систему координат, как рекомендовано в условии задачи. Так как проволока расположена симметрично относительно оси х, то, очевидно, $y_{ц. м.} = 0$. По определению центра масс
$x_{ц.м.} = \frac{ \int xdm }{ \int dm}$;
Масса проволоки бесконечно малой длины $dl$ равна $\rho dl$, где $\rho = M/L$ - масса единицы длины проволоки, поэтому
$x_{ц.м.} = \frac{1}{L} \int xdl$.
Вычислять такой интеграл в прямоугольной системе координат довольно громоздко. Эти вычисления значительно упрощаются, если заметить, что для произвольной точки проволоки, радиус-вектор которой образует угол $\phi$ а осью $y, x = R \cos \phi$, a $dl = Rd \phi$ (см. рисунок). Чтобы были учтены все точки проволоки, угол $\phi$ должен пробегать значения от $( \pi - \alpha)/2$ до $( \pi + \alpha )/2$, где $\alpha = L/R$ - угол между радиусами-векторами концов проволоки.
Таким образом,
$x_{ц.м.} = \frac{R^{2} }{L} \int_{ \frac{ \pi - \alpha}{2} }^{ \frac{ \pi + \alpha}{2} } \cos \phi d \phi = \frac{2R^{2} }{L} \sin \frac{ \alpha}{2} = R \left ( \frac{2R}{L} \right ) \sin \frac{L}{2R}$.
Этот же результат может быть получен из теоремы Паппа. При вращении проволоки вокруг оси у получается шаровой пояс площадью
$2 \pi R \cdot 2R \cos \left ( \frac{ \pi - \alpha}{2} \right ) = 4 \pi R^{2} \sin \frac{ \alpha}{2}$.
Центр масс проволоки описывает окружность длины $2 \pi x_{ц.м.}$, так что
$4 \pi R^{2} \sin \frac{ \alpha}{2} = 2 \pi x_{ц.м.} L$,
откуда
$x_{ц.м.} = R \left ( \frac{2R}{L} \right ) \sin \frac{L}{2R}$.
