Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10782
2019-10-05 
Джим находится в системе координат $(x^{ \prime} , y^{ \prime})$ и вращается относительно Джо, который неподвижен и находится в системе координат $(x, y)$. Найдите выражение для компонент силы, которая, по мнению Джима, действует на некоторую частицу, и покажите, что она складывается из компонент истинной силы $\vec{F}$, которую наблюдает и Джо, и двух псевдосил: радиальной центробежной силы и силы Кориолиса, которая перпендикулярна скорости.
Решение:
В неподвижной системе координат $xy$ на тело действует сила $F$. Тело будет двигаться в этой системе координат согласно уравнениям движения $m \ddot{x} = F_{x}; m \ddot{y} = F_{y}$. При повороте системы координат на угол $\theta = \omega t$ координаты преобразуются следующим образом:
$x^{ \prime} = x \cos \theta + y \sin \theta$,
$y^{ \prime} = - x \sin \theta + y \cos \theta$,
откуда
$\dot{x}^{ \prime} = \dot{x} \cos \omega t - x \omega \sin \omega t + \dot{y} \sin \omega t + y \omega \cos \omega t$,
$\ddot{x}^{ \prime} = \ddot{x} \cos \omega t + \ddot{y} \sin \omega t - 2 \dot{x} \omega \sin \omega t + 2 y \omega \cos \omega t - x \omega^{2} \cos \omega t - y \omega^{2} \sin \omega t$
и
$\dot{y}^{ \prime} = - \dot{x} \sin \omega t - x \omega \cos \omega t + \dot{y} \cos \omega t - y \omega \sin \omega t$,
$\ddot{y}^{ \prime} = - \ddot{x} \sin \omega t = 2 \dot{x} \omega \cos \omega t + x \omega^{2} \sin \omega t + \ddot{y} \cos \omega t - 2 \dot{y} \omega \sin \omega - y \omega^{2} \cos \omega t$.
Компоненты силы в штрихованной системе координат имеют вид
$F_{x}^{ \prime} = m \ddot{x}^{ \prime} = F_{x} \cos \theta + F_{y} \sin \theta + 2m \dot{y}^{ \prime} \omega + m \omega^{2} x^{ \prime}$,
$F_{y}^{ \prime} = m \ddot{y}^{ \prime} = - F_{x} \sin \theta + F_{y} \cos \theta - 2m \omega \dot{x}^{ \prime} + m \omega^{2} y^{ \prime}$.
Первые два члена в каждом выражении есть компоненты истинной силы $\vec{F}$ в повернутой системе координат, третьи слагаемые-компоненты силы Кориолиса, и последние - центробежной силы.
Джим находится в системе координат $(x^{ \prime} , y^{ \prime})$ и вращается относительно Джо, который неподвижен и находится в системе координат $(x, y)$. Найдите выражение для компонент силы, которая, по мнению Джима, действует на некоторую частицу, и покажите, что она складывается из компонент истинной силы $\vec{F}$, которую наблюдает и Джо, и двух псевдосил: радиальной центробежной силы и силы Кориолиса, которая перпендикулярна скорости.
Решение:
В неподвижной системе координат $xy$ на тело действует сила $F$. Тело будет двигаться в этой системе координат согласно уравнениям движения $m \ddot{x} = F_{x}; m \ddot{y} = F_{y}$. При повороте системы координат на угол $\theta = \omega t$ координаты преобразуются следующим образом:
$x^{ \prime} = x \cos \theta + y \sin \theta$,
$y^{ \prime} = - x \sin \theta + y \cos \theta$,
откуда
$\dot{x}^{ \prime} = \dot{x} \cos \omega t - x \omega \sin \omega t + \dot{y} \sin \omega t + y \omega \cos \omega t$,
$\ddot{x}^{ \prime} = \ddot{x} \cos \omega t + \ddot{y} \sin \omega t - 2 \dot{x} \omega \sin \omega t + 2 y \omega \cos \omega t - x \omega^{2} \cos \omega t - y \omega^{2} \sin \omega t$
и
$\dot{y}^{ \prime} = - \dot{x} \sin \omega t - x \omega \cos \omega t + \dot{y} \cos \omega t - y \omega \sin \omega t$,
$\ddot{y}^{ \prime} = - \ddot{x} \sin \omega t = 2 \dot{x} \omega \cos \omega t + x \omega^{2} \sin \omega t + \ddot{y} \cos \omega t - 2 \dot{y} \omega \sin \omega - y \omega^{2} \cos \omega t$.
Компоненты силы в штрихованной системе координат имеют вид
$F_{x}^{ \prime} = m \ddot{x}^{ \prime} = F_{x} \cos \theta + F_{y} \sin \theta + 2m \dot{y}^{ \prime} \omega + m \omega^{2} x^{ \prime}$,
$F_{y}^{ \prime} = m \ddot{y}^{ \prime} = - F_{x} \sin \theta + F_{y} \cos \theta - 2m \omega \dot{x}^{ \prime} + m \omega^{2} y^{ \prime}$.
Первые два члена в каждом выражении есть компоненты истинной силы $\vec{F}$ в повернутой системе координат, третьи слагаемые-компоненты силы Кориолиса, и последние - центробежной силы.
