Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10778
2019-10-05 
Металлическая пластинка неправильной формы, но постоянной толщины имеет массу $M$ и центр тяжести ее расположен в точке С. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости пластинки (и проходящей через точку А), известен и равен $I_{A}$. При каких условиях, налагаемых на расстояния $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$ справедливо следующее выражение для момента инерции пластинки относительно оси, также перпендикулярной плоскости пластинки, но проходящей через точку В:
$I_{B} = I_{A} + Mr_{3}^{2}$?
Решение:
Для моментов инерции пластинок относительно осей, проходящих через точки А и В, можем написать
$I_{A} = I_{C} + Mr_{1}^{2}, I_{B} = I_{C} + Mr_{2}^{2}$,
откуда
$I_{B} = I_{A} - Mr_{1}^{2} + Mr_{2}^{2} = I_{A} + M (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})$.
Приведенное в тексте равенство выполняется, если $r_{3}^{2} = r_{2}^{2} - r_{1}^{2}$, т. е. когда $r_{1}, r_{2}, r_{3}$, образуют прямоугольный треугольник, причем гипотенузой является $r_{2}$.
Металлическая пластинка неправильной формы, но постоянной толщины имеет массу $M$ и центр тяжести ее расположен в точке С. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости пластинки (и проходящей через точку А), известен и равен $I_{A}$. При каких условиях, налагаемых на расстояния $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$ справедливо следующее выражение для момента инерции пластинки относительно оси, также перпендикулярной плоскости пластинки, но проходящей через точку В:
$I_{B} = I_{A} + Mr_{3}^{2}$?
Решение:
Для моментов инерции пластинок относительно осей, проходящих через точки А и В, можем написать
$I_{A} = I_{C} + Mr_{1}^{2}, I_{B} = I_{C} + Mr_{2}^{2}$,
откуда
$I_{B} = I_{A} - Mr_{1}^{2} + Mr_{2}^{2} = I_{A} + M (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})$.
Приведенное в тексте равенство выполняется, если $r_{3}^{2} = r_{2}^{2} - r_{1}^{2}$, т. е. когда $r_{1}, r_{2}, r_{3}$, образуют прямоугольный треугольник, причем гипотенузой является $r_{2}$.
