Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10776
2019-10-05 
Упругий момент, создаваемый закручиваемой нитью, пропорционален углу закручивания $\tau_{нити} = - k \theta$.
а) Покажите, что потенциальная энергия такой нити, закрученной на угол $\theta$, равна $\frac{1}{2} k \theta^{2}$.
б) Момент, действующий на катушку гальванометра, имеет вид
$\tau = n ABi$,
где $i$ - ток, текущий через катушку; $n$ - число витков в катушке; $B$ - магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом гальванометра.
Для измерения заряда конденсатора его разряжают через катушку гальванометра и отмечают максимальный угол отклонения. При этом $|i| = \left | \frac{dq}{dt} \right |$, и разряд происходит так быстро, что за то время, пока течет ток, катушка не успевает существенно отклониться от начального положения $\theta = 0$. Пренебрегая трением, покажите, что максимальный угол отклонения пропорционален первоначальному заряду конденсатора.
Решение:
а) Пусть нить закручена на угол $\theta$. Чтобы удержать ее в этом положении, к нити нужно приложить внещцие силы, момент которых $\tau$ был бы равен упругому моменту нити с обратным знаком, т. е. $\tau = k \theta$.
При дальнейшем закручивании нити на малый угол $\Delta \theta$, внешние силы совершают работу $\Delta W = \tau \cdot \Delta \theta$. Нить, закрученная на фиксированный угол $\theta_{0}$, обладает, таким образом, потенциальной энергией $U$, равной по величине работе внешних сил, поворачивающих нить от ненапряженного состояния ($\theta = 0$) до угла $\theta_{0}$, т. е.
$U = \int_{0}^{ \theta_{0} } \tau d \theta = \int_{0}^{ \theta_{0} } k \theta d \theta = \frac{1}{2} k \theta_{0}^{2}$.
б) В момент разряда конденсатора на рамку действует момент $\tau = nAB | dq/dt |$, в результате чего рамка начнет вращаться с угловой скоростью $\omega = L/I$, где $L$-момент количества движения рамки, $I$-ее момент инерции. Величину $L$ найдем, интегрируя уравнение
$\frac{dL}{dt} = nAB \left | \frac{dq}{dt} \right |$
от $t = 0$ до момента окончания разряда конденсатора, что дает $L = nABq_{0}$ ($q_{0}$ - первоначальный заряд конденсатора). Когда катушка отклоняется на максимальный угол и останавливается, начальная кинетическая энергия рамки
$E = \frac{I \omega^{2} }{2} = \frac{L^{2} }{2I} = \frac{n^{2}A^{2}B^{2} q_{0}^{2} }{2I}$
переходит в потенциальную энергию закрученной нити, на которой подвешена катушка, $U = \frac{1}{2} k \theta_{max}^{2}$, т. е.
$\frac{1}{2} k \theta_{max}^{2} = \frac{n^{2}A^{2}B^{2}q_{0}^{2} }{2I}$, откуда $\theta_{max} = \frac{nABq_{0} }{ \sqrt{kI} }$,
т. е. максимальный угол поворота рамки пропорционален начальному заряду конденсатора.
Упругий момент, создаваемый закручиваемой нитью, пропорционален углу закручивания $\tau_{нити} = - k \theta$.
а) Покажите, что потенциальная энергия такой нити, закрученной на угол $\theta$, равна $\frac{1}{2} k \theta^{2}$.
б) Момент, действующий на катушку гальванометра, имеет вид
$\tau = n ABi$,
где $i$ - ток, текущий через катушку; $n$ - число витков в катушке; $B$ - магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом гальванометра.
Для измерения заряда конденсатора его разряжают через катушку гальванометра и отмечают максимальный угол отклонения. При этом $|i| = \left | \frac{dq}{dt} \right |$, и разряд происходит так быстро, что за то время, пока течет ток, катушка не успевает существенно отклониться от начального положения $\theta = 0$. Пренебрегая трением, покажите, что максимальный угол отклонения пропорционален первоначальному заряду конденсатора.
Решение:
а) Пусть нить закручена на угол $\theta$. Чтобы удержать ее в этом положении, к нити нужно приложить внещцие силы, момент которых $\tau$ был бы равен упругому моменту нити с обратным знаком, т. е. $\tau = k \theta$.
При дальнейшем закручивании нити на малый угол $\Delta \theta$, внешние силы совершают работу $\Delta W = \tau \cdot \Delta \theta$. Нить, закрученная на фиксированный угол $\theta_{0}$, обладает, таким образом, потенциальной энергией $U$, равной по величине работе внешних сил, поворачивающих нить от ненапряженного состояния ($\theta = 0$) до угла $\theta_{0}$, т. е.
$U = \int_{0}^{ \theta_{0} } \tau d \theta = \int_{0}^{ \theta_{0} } k \theta d \theta = \frac{1}{2} k \theta_{0}^{2}$.
б) В момент разряда конденсатора на рамку действует момент $\tau = nAB | dq/dt |$, в результате чего рамка начнет вращаться с угловой скоростью $\omega = L/I$, где $L$-момент количества движения рамки, $I$-ее момент инерции. Величину $L$ найдем, интегрируя уравнение
$\frac{dL}{dt} = nAB \left | \frac{dq}{dt} \right |$
от $t = 0$ до момента окончания разряда конденсатора, что дает $L = nABq_{0}$ ($q_{0}$ - первоначальный заряд конденсатора). Когда катушка отклоняется на максимальный угол и останавливается, начальная кинетическая энергия рамки
$E = \frac{I \omega^{2} }{2} = \frac{L^{2} }{2I} = \frac{n^{2}A^{2}B^{2} q_{0}^{2} }{2I}$
переходит в потенциальную энергию закрученной нити, на которой подвешена катушка, $U = \frac{1}{2} k \theta_{max}^{2}$, т. е.
$\frac{1}{2} k \theta_{max}^{2} = \frac{n^{2}A^{2}B^{2}q_{0}^{2} }{2I}$, откуда $\theta_{max} = \frac{nABq_{0} }{ \sqrt{kI} }$,
т. е. максимальный угол поворота рамки пропорционален начальному заряду конденсатора.
