Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10775
2019-10-05 
Восемь тонких однородных стержней образуют плоский квадрат, поддерживаемый невесомой рамкой (показана пунктиром на рисунке А). Длина каждого стержня равна $L$, а масса $M$. Квадрат свободно вращается без трения вокруг оси О, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью $\omega_{0} рад/сек$. В процессе вращения внутренний механизм К, соединенный с рамкой и имеющий постоянный момент инерции $\frac{40}{3} ML^{2}$, складывает квадрат в крест, изображенный на рисунке В. Какую он при этом затрачивает энергию?
Решение:
Энергия, затраченная механизмом К, равна изменению кинетической энергии вращения системы, т. е.
$E = \frac{I_{1} \omega_{1}^{2} }{2} - \frac{I_{0} \omega_{0}^{2} }{2}$,
где $I_{0}$ и $I_{1}$ - моменты инерции «квадратной» и «крестообразной» систем, а $\omega_{1}$ - конечная угловая скорость вращения. Момент инерции системы складывается из моментов инерции стержней и момента инерции внутреннего механизма.
Пользуясь теоремой о параллельном переносе оси, находим, что момент инерции одного стержня относительно оси О равен в начальном состоянии $(4/3)mL^{2}$, а в конечном $(m/3)L^{2}$. Поэтому
$I_{0} = \frac{32}{3} mL^{2} + \frac{40}{3} mL^{2} = 24mL^{2}$
и
$I_{1} = 8 \frac{mL^{2} }{3} + \frac{40}{3} mL^{2} = 16 mL^{2}$.
Конечную угловую скорость вращения $\omega_{1}$ находим из закона сохранения момента количества движения (механизм, складывающий стержни,- внутренний!)
$I_{1} \omega_{1} = I_{0} \omega_{0}$.
откуда
$\omega_{1} = \frac{I_{0} }{I_{1} } \omega_{0} = \frac{3}{2} \omega_{0}$.
Итак, затраченная механизмом К энергия равна
$E = \frac{9}{8} I_{1} \omega_{0}^{2} - \frac{1}{2} I_{0} \omega_{0}^{2} = 6mL^{2} \omega_{0}^{2}$.
Восемь тонких однородных стержней образуют плоский квадрат, поддерживаемый невесомой рамкой (показана пунктиром на рисунке А). Длина каждого стержня равна $L$, а масса $M$. Квадрат свободно вращается без трения вокруг оси О, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью $\omega_{0} рад/сек$. В процессе вращения внутренний механизм К, соединенный с рамкой и имеющий постоянный момент инерции $\frac{40}{3} ML^{2}$, складывает квадрат в крест, изображенный на рисунке В. Какую он при этом затрачивает энергию?
Решение:
Энергия, затраченная механизмом К, равна изменению кинетической энергии вращения системы, т. е.
$E = \frac{I_{1} \omega_{1}^{2} }{2} - \frac{I_{0} \omega_{0}^{2} }{2}$,
где $I_{0}$ и $I_{1}$ - моменты инерции «квадратной» и «крестообразной» систем, а $\omega_{1}$ - конечная угловая скорость вращения. Момент инерции системы складывается из моментов инерции стержней и момента инерции внутреннего механизма.
Пользуясь теоремой о параллельном переносе оси, находим, что момент инерции одного стержня относительно оси О равен в начальном состоянии $(4/3)mL^{2}$, а в конечном $(m/3)L^{2}$. Поэтому
$I_{0} = \frac{32}{3} mL^{2} + \frac{40}{3} mL^{2} = 24mL^{2}$
и
$I_{1} = 8 \frac{mL^{2} }{3} + \frac{40}{3} mL^{2} = 16 mL^{2}$.
Конечную угловую скорость вращения $\omega_{1}$ находим из закона сохранения момента количества движения (механизм, складывающий стержни,- внутренний!)
$I_{1} \omega_{1} = I_{0} \omega_{0}$.
откуда
$\omega_{1} = \frac{I_{0} }{I_{1} } \omega_{0} = \frac{3}{2} \omega_{0}$.
Итак, затраченная механизмом К энергия равна
$E = \frac{9}{8} I_{1} \omega_{0}^{2} - \frac{1}{2} I_{0} \omega_{0}^{2} = 6mL^{2} \omega_{0}^{2}$.
