Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10774
2019-10-05 
Однородный брусок длины $L$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности (см. рисунок). Сверху на него накладываются такие же бруски так, что их боковые грани образуют одну плоскость, а торец каждого следующего бруска смещается по отношению к предыдущему на величину $L/a$ ($a$ - целое число). Сколько брусков удастся уложить, прежде чем все сооружение опрокинется?
Решение:
Поместим начало системы координат в середину основания нижнего бруска. Обозначим через $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}$ координаты центров масс соответствующих брусков (см. фиг. а). Очевидно, что сооружение из брусков опрокинется, когда координата $x_{0}$ центра масс всей системы брусков, лежащих на нижнем, выйдет за его основание, т. е. когда $x_{0} \geq L/2$ (знак равенства соответствует неустойчивому равновесию).
Поясним это, рассмотрев условие равновесия двух брусков, лежащих друг на друге. Пусть сначала бруски расположены так, как это показано на фиг. б. Повернем верхний брусок относительно точки О на малый угол $\Delta \phi$ по часовой стрелке и отпустим его. Как будет двигаться брусок дальше?
Сила веса бруска создает относительно точки О вращающий момент $\tau = mg[(L/2) - l]$ ($m$ - масса бруска, $l$ - длина выступающей части торца), который стремится повернуть брусок в исходное положение. Это и означает, что в положении, показанном на фиг. б, брусок находится в равновесии. По мере стремления $l$ к $L/2$ величина вращающего момента убывает. Наконец, $\tau = 0$ при $l = L/2$. Теперь достаточно отклонить верхний брусок на бесконечно малый угол, чтобы брусок начал вращаться по часовой стрелке; это означает, что верхний брусок находится в положении неустойчивого равновесия. Разумеется, при $l > L/2$ (см. фиг. в), возникает вращающий момент $\tau = mg (l - L/2)$, опрокидывающий верхний брусок.
Вычислим координату центра масс всех брусков, лежащих на нижнем. Очевидно,
$x_{1} = \frac{L}{l}, x_{2} = 2 \frac{L}{l}, \cdots, x_{n} = n \frac{L}{l}$.
Поэтому
$x_{0} = \frac{ m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + \cdots + m_{n}x_{n} }{m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{n} } = \frac{1}{n} (x_{1} + \cdots + x_{n} ) = \frac{1}{n} \frac{L}{l} \frac{n + 1}{2} n = (n + 1) \frac{L}{2l}$.
Неустойчивое равновесие наступит при $x_{0} = L/2$, откуда
$n = l - 1$.
Следовательно, максимальное число брусков, которые можно уложить указанным способом, равно $l$.
Однородный брусок длины $L$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности (см. рисунок). Сверху на него накладываются такие же бруски так, что их боковые грани образуют одну плоскость, а торец каждого следующего бруска смещается по отношению к предыдущему на величину $L/a$ ($a$ - целое число). Сколько брусков удастся уложить, прежде чем все сооружение опрокинется?
Решение:
Поместим начало системы координат в середину основания нижнего бруска. Обозначим через $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}$ координаты центров масс соответствующих брусков (см. фиг. а). Очевидно, что сооружение из брусков опрокинется, когда координата $x_{0}$ центра масс всей системы брусков, лежащих на нижнем, выйдет за его основание, т. е. когда $x_{0} \geq L/2$ (знак равенства соответствует неустойчивому равновесию).
Поясним это, рассмотрев условие равновесия двух брусков, лежащих друг на друге. Пусть сначала бруски расположены так, как это показано на фиг. б. Повернем верхний брусок относительно точки О на малый угол $\Delta \phi$ по часовой стрелке и отпустим его. Как будет двигаться брусок дальше?
Сила веса бруска создает относительно точки О вращающий момент $\tau = mg[(L/2) - l]$ ($m$ - масса бруска, $l$ - длина выступающей части торца), который стремится повернуть брусок в исходное положение. Это и означает, что в положении, показанном на фиг. б, брусок находится в равновесии. По мере стремления $l$ к $L/2$ величина вращающего момента убывает. Наконец, $\tau = 0$ при $l = L/2$. Теперь достаточно отклонить верхний брусок на бесконечно малый угол, чтобы брусок начал вращаться по часовой стрелке; это означает, что верхний брусок находится в положении неустойчивого равновесия. Разумеется, при $l > L/2$ (см. фиг. в), возникает вращающий момент $\tau = mg (l - L/2)$, опрокидывающий верхний брусок.
Вычислим координату центра масс всех брусков, лежащих на нижнем. Очевидно,
$x_{1} = \frac{L}{l}, x_{2} = 2 \frac{L}{l}, \cdots, x_{n} = n \frac{L}{l}$.
Поэтому
$x_{0} = \frac{ m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + \cdots + m_{n}x_{n} }{m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{n} } = \frac{1}{n} (x_{1} + \cdots + x_{n} ) = \frac{1}{n} \frac{L}{l} \frac{n + 1}{2} n = (n + 1) \frac{L}{2l}$.
Неустойчивое равновесие наступит при $x_{0} = L/2$, откуда
$n = l - 1$.
Следовательно, максимальное число брусков, которые можно уложить указанным способом, равно $l$.
