Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10770
2019-10-05 
Найдите момент количества движения планеты массы $m$, которая движется по круговой орбите радиуса $R$. Используя этот результат, покажите, что из-за приливов, тормозящих вращение Земли, расстояние между Луной и Землей с течением времени будет увеличиваться (хотя и очень медленно). Обсудите еще вопрос о сохранении энергии в системе Земля - Луна.
Решение:
Момент количества движения планеты является суммой двух членов $L_{1} + L_{2}$; $L_{1}$ связан с движением планеты по орбите ($L_{1} = mvR$), a $L_{2}$ - с ее вращением вокруг своей оси ($L_{2} = I \omega$). Учитывая, что для движения по круговой орбите $v^{2}/R = GM/R^{2}$ (считаем, что центральное тело очень тяжелое), получаем
$L_{1} = m \sqrt{ GMR}$.
Величина $L_{2}$ для всех реальных случаев оказывается гораздо меньше $L_{1}$.
Рассмотрим теперь систему Земля - Луна. В момент количества движения этой системы дают вклад следующие движения: движение Луны относительно ц. м. системы Земля-Луна, вращение Луны вокруг своей оси, движение Земли относительно ц. м. системы, вращение Земли вокруг своей оси.
Вспомним теперь, что период вращения Луны вокруг своей оси равен периоду ее движения по орбите. Поэтому
$\frac{L_{1л} }{L_{2л} } = \frac{m_{л}R^{2} }{I_{л} } \sim \frac{R^{2} }{r_{л}^{2} }$,
где $R$ - радиус лунной орбиты, а $r_{л}$ - радиус Луны. Таким образом, $L_{1л} \gg L_{2л}$, и этой последней величиной можно пренебречь. Далее, поскольку период обращения Земли и Луны вокруг ц. м. системы одинаков, а расстояние до ц. м. обратно пропорционально массам
$L_{1з} = \frac{m_{л} }{m_{з} } L_{1л} \sim 5 \cdot 10^{-3} L_{1л}$,
т. е. вклад орбитального движения Земли в момент количества движения также очень мал. Оценим теперь вклад вращения Земли вокруг своей оси. Имеем
$L_{2з} = I_{з} \omega_{з} = \frac{2}{5} m_{з}^{2} r_{з}^{2} \omega_{з}$.
Учитывая, что $m_{з} \sim 80 m_{л}, r_{з} \sim 6 r_{л}, \omega_{л} = 28 \omega_{з}$, убеждаемся, что
$\frac{L_{2з}}{L_{1л}} \sim 0,1$.
Следовательно, момент количества движения системы Земля - Луна равен приближенно
$L = L_{1л} + L_{2з} = m_{л} \sqrt{Gm_{з}R} + I_{з} \omega_{з}$.
Из-за приливов, тормозящих вращение Земли, длина суток медленно увеличивается, т. е. уменьшается угловая скорость вращения, а с ней и момент количества движения Земли $L_{2з}$. Так как полный момент количества движения системы Луна-Земля должен оставаться постоянным, момент количества движения Луны $L_{1л}$ должен медленно возрастать, компенсируя уменьшение $L_{2з}$.
Увеличение $L_{1л}$ (см. выражение для этой величины) возможно только в случае увеличения расстояния между Луной и Землей.
Энергия системы Земля - Луна состоит из кинетической и потенциальной энергий Луны и кинетической энергии вращения Земли (мы опять пренебрегли кинетической энергией вращения Луны и движения Земли по орбите как малыми величинами).
Как было показано в задаче 10747, полная энергия Луны равна
$- \frac{Gm_{з}m_{л}}{2R}$,
а энергия вращения Земли вокруг своей оси
$\frac{1}{2}I_{з} \omega_{з}^{2} = 0,2m_{з}r_{з}^{2} \omega_{з}^{2}$.
Полная энергия рассматриваемой системы
$0,2m_{з} r_{з}^{2} \omega_{з}^{2} - \frac{ Gm_{з} m_{л} }{2R}$
положительна, в чем можно убедиться, подставив вместо букв соответствующие числа. В предельном случае (далеком будущем), когда Земля полностью прекратит вращаться вокруг своей оси ($\omega_{з} = 0$), полная энергия системы Земля - Луна станет отрицательной ($-Gm_{з}m_{л}/2R_{0}$), $R_{0}$ - расстояние между Луной и Землей при $\omega_{з} = 0$; это означает, что полная механическая энергия системы Земля-Луна уменьшается по мере удаления Луны от Земли. Это и понятно, ведь часть механической энергии вследствие приливного трения превращается в теплоту.
Найдите момент количества движения планеты массы $m$, которая движется по круговой орбите радиуса $R$. Используя этот результат, покажите, что из-за приливов, тормозящих вращение Земли, расстояние между Луной и Землей с течением времени будет увеличиваться (хотя и очень медленно). Обсудите еще вопрос о сохранении энергии в системе Земля - Луна.
Решение:
Момент количества движения планеты является суммой двух членов $L_{1} + L_{2}$; $L_{1}$ связан с движением планеты по орбите ($L_{1} = mvR$), a $L_{2}$ - с ее вращением вокруг своей оси ($L_{2} = I \omega$). Учитывая, что для движения по круговой орбите $v^{2}/R = GM/R^{2}$ (считаем, что центральное тело очень тяжелое), получаем
$L_{1} = m \sqrt{ GMR}$.
Величина $L_{2}$ для всех реальных случаев оказывается гораздо меньше $L_{1}$.
Рассмотрим теперь систему Земля - Луна. В момент количества движения этой системы дают вклад следующие движения: движение Луны относительно ц. м. системы Земля-Луна, вращение Луны вокруг своей оси, движение Земли относительно ц. м. системы, вращение Земли вокруг своей оси.
Вспомним теперь, что период вращения Луны вокруг своей оси равен периоду ее движения по орбите. Поэтому
$\frac{L_{1л} }{L_{2л} } = \frac{m_{л}R^{2} }{I_{л} } \sim \frac{R^{2} }{r_{л}^{2} }$,
где $R$ - радиус лунной орбиты, а $r_{л}$ - радиус Луны. Таким образом, $L_{1л} \gg L_{2л}$, и этой последней величиной можно пренебречь. Далее, поскольку период обращения Земли и Луны вокруг ц. м. системы одинаков, а расстояние до ц. м. обратно пропорционально массам
$L_{1з} = \frac{m_{л} }{m_{з} } L_{1л} \sim 5 \cdot 10^{-3} L_{1л}$,
т. е. вклад орбитального движения Земли в момент количества движения также очень мал. Оценим теперь вклад вращения Земли вокруг своей оси. Имеем
$L_{2з} = I_{з} \omega_{з} = \frac{2}{5} m_{з}^{2} r_{з}^{2} \omega_{з}$.
Учитывая, что $m_{з} \sim 80 m_{л}, r_{з} \sim 6 r_{л}, \omega_{л} = 28 \omega_{з}$, убеждаемся, что
$\frac{L_{2з}}{L_{1л}} \sim 0,1$.
Следовательно, момент количества движения системы Земля - Луна равен приближенно
$L = L_{1л} + L_{2з} = m_{л} \sqrt{Gm_{з}R} + I_{з} \omega_{з}$.
Из-за приливов, тормозящих вращение Земли, длина суток медленно увеличивается, т. е. уменьшается угловая скорость вращения, а с ней и момент количества движения Земли $L_{2з}$. Так как полный момент количества движения системы Луна-Земля должен оставаться постоянным, момент количества движения Луны $L_{1л}$ должен медленно возрастать, компенсируя уменьшение $L_{2з}$.
Увеличение $L_{1л}$ (см. выражение для этой величины) возможно только в случае увеличения расстояния между Луной и Землей.
Энергия системы Земля - Луна состоит из кинетической и потенциальной энергий Луны и кинетической энергии вращения Земли (мы опять пренебрегли кинетической энергией вращения Луны и движения Земли по орбите как малыми величинами).
Как было показано в задаче 10747, полная энергия Луны равна
$- \frac{Gm_{з}m_{л}}{2R}$,
а энергия вращения Земли вокруг своей оси
$\frac{1}{2}I_{з} \omega_{з}^{2} = 0,2m_{з}r_{з}^{2} \omega_{з}^{2}$.
Полная энергия рассматриваемой системы
$0,2m_{з} r_{з}^{2} \omega_{з}^{2} - \frac{ Gm_{з} m_{л} }{2R}$
положительна, в чем можно убедиться, подставив вместо букв соответствующие числа. В предельном случае (далеком будущем), когда Земля полностью прекратит вращаться вокруг своей оси ($\omega_{з} = 0$), полная энергия системы Земля - Луна станет отрицательной ($-Gm_{з}m_{л}/2R_{0}$), $R_{0}$ - расстояние между Луной и Землей при $\omega_{з} = 0$; это означает, что полная механическая энергия системы Земля-Луна уменьшается по мере удаления Луны от Земли. Это и понятно, ведь часть механической энергии вследствие приливного трения превращается в теплоту.
