Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10767
2019-10-05 
Вычислите моменты инерции следующих твердых тел, каждое из которых имеет массу $m$:
а) Тонкий прямолинейный однородный стержень длины $L$. Момент нужно вычислить относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов.
б) Тот же стержень, но ось проходит через его середину.
в) Тонкостенный полый круговой цилиндр радиуса $r$; относительно оси цилиндра.
г) Сплошной круговой цилиндр радиуса $r$; относительно оси цилиндра.
Решение:
а) Момент инерции стержня в системе координат, ось $x$ которой направлена вдоль стержня, а начало совпадает с концом стержня, равен
$I = \int_{0}^{L} x^{2} dm = \rho \int_{0}^{L} x^{2} dx$,
где $\rho$ - его линейная плотность ($\rho = M/L$), так что L
$I = \frac{M}{L} \int_{0}^{L} x^{2}dx = \frac{ML^{2} }{3}$.
б) Если ось проходит не через конец стержня, а через его середину, то интегрирование следует проводить в пределах не от 0 до $L$, а от $-L/2$ до $L/2$:
$I = \frac{ M}{L} \int_{-L/2}^{L/2} x^{2}dx = \frac{ML^{2} }{12}$.
Этот же результат можно получить из теоремы о параллельном переносе оси, относительно которой вычисляется момент инерции: $I = I_{ц.м.} + md^{2}$ ($d$ - расстояние между осями, а $I_{ц.м.}$ - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс). Искомый момент инерции есть как раз $I_{ц.м.}$, так как центр масс стержня находится на середине $L$:
$I_{ц.м.} = I = Md^{2} = \frac{ML^{2} }{3} - \frac{ML^{2} }{4} = \frac{ML^{2} }{12}$.
в) Если цилиндр тонкостенный, то вся его масса $m$ находится на расстоянии $r$ от оси вращения, поэтому, согласно определению момента инерции, $I = mr^{2}$.
г) Для вычисления момента инерции сплошного цилиндра разобьем его на большое число тонкостенных полых цилиндров. На рисунке показан один такой цилиндр радиусом $r^{ \prime}$ и толщиной $dr^{ \prime}$. Момент инерции этого цилиндра [см. пункт (в)] $dI = r^{ \prime 2} dm^{ \prime}$, где
$dm^{ \prime} = \frac{m}{ \pi r^{2}H } 2 \pi r^{ \prime} H dr^{ \prime} = \frac{2m}{r^{2} } r^{ \prime} dr^{ \prime}$
($m$ - масса цилиндра, $H$ - высота цилиндра).
Таким образом, момент инерции сплошного цилиндра вычисляется так:
$I = \int_{0}^{r} dI = \frac{2m}{r^{2} } \int_{0}^{r} r^{ \prime 3} dr^{ \prime} = \frac{mr^{2} }{2}$.
Вычислите моменты инерции следующих твердых тел, каждое из которых имеет массу $m$:
а) Тонкий прямолинейный однородный стержень длины $L$. Момент нужно вычислить относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов.
б) Тот же стержень, но ось проходит через его середину.
в) Тонкостенный полый круговой цилиндр радиуса $r$; относительно оси цилиндра.
г) Сплошной круговой цилиндр радиуса $r$; относительно оси цилиндра.
Решение:
а) Момент инерции стержня в системе координат, ось $x$ которой направлена вдоль стержня, а начало совпадает с концом стержня, равен
$I = \int_{0}^{L} x^{2} dm = \rho \int_{0}^{L} x^{2} dx$,
где $\rho$ - его линейная плотность ($\rho = M/L$), так что L
$I = \frac{M}{L} \int_{0}^{L} x^{2}dx = \frac{ML^{2} }{3}$.
б) Если ось проходит не через конец стержня, а через его середину, то интегрирование следует проводить в пределах не от 0 до $L$, а от $-L/2$ до $L/2$:
$I = \frac{ M}{L} \int_{-L/2}^{L/2} x^{2}dx = \frac{ML^{2} }{12}$.
Этот же результат можно получить из теоремы о параллельном переносе оси, относительно которой вычисляется момент инерции: $I = I_{ц.м.} + md^{2}$ ($d$ - расстояние между осями, а $I_{ц.м.}$ - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс). Искомый момент инерции есть как раз $I_{ц.м.}$, так как центр масс стержня находится на середине $L$:
$I_{ц.м.} = I = Md^{2} = \frac{ML^{2} }{3} - \frac{ML^{2} }{4} = \frac{ML^{2} }{12}$.
в) Если цилиндр тонкостенный, то вся его масса $m$ находится на расстоянии $r$ от оси вращения, поэтому, согласно определению момента инерции, $I = mr^{2}$.
г) Для вычисления момента инерции сплошного цилиндра разобьем его на большое число тонкостенных полых цилиндров. На рисунке показан один такой цилиндр радиусом $r^{ \prime}$ и толщиной $dr^{ \prime}$. Момент инерции этого цилиндра [см. пункт (в)] $dI = r^{ \prime 2} dm^{ \prime}$, где
$dm^{ \prime} = \frac{m}{ \pi r^{2}H } 2 \pi r^{ \prime} H dr^{ \prime} = \frac{2m}{r^{2} } r^{ \prime} dr^{ \prime}$
($m$ - масса цилиндра, $H$ - высота цилиндра).
Таким образом, момент инерции сплошного цилиндра вычисляется так:
$I = \int_{0}^{r} dI = \frac{2m}{r^{2} } \int_{0}^{r} r^{ \prime 3} dr^{ \prime} = \frac{mr^{2} }{2}$.
