Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10750
2019-10-05 
Двигатели космического корабля прекращают работу где-то в районе Земли. Какую минимальную скорость должен набрать космический корабль, чтобы покинуть пределы Солнечной системы, имея «на выходе» скорость 16 км/сек относительно Солнца? Скорость Земли в ее орбитальном движении равна 30 км/сек.
Решение:
Обозначим через $v$ скорость космического корабля относительно Солнца в момент прекращения работы двигателей, а через $v^{ \prime}$ - его скорость «на выходе». Потенциальная энергия корабля обусловлена притяжением Земли и Солнца. Когда корабль находится около Земли, его потенциальная энергия равна
$- \frac{GMm}{R} - \frac{ GM_{сол}m}{R_{1}}$,
где $m, M$ и $M_{сол}$ - массы соответственно корабля, Земли и Солнца; $R$ - радиус Земли; $R_{1}$ - радиус земной орбиты, которую для простоты будем считать круговой.
Из закона сохранения энергии следует
$\frac{v^{2}}{2} = \frac{GM}{R} + \frac{GM_{сол} }{R_{1} } + \frac{v^{ \prime 2} }{2}$
Заметим, что
$\frac{GM}{R} = \frac{1}{2} v_{1}^{2}$,
где $v_{1}$ - вторая космическая скорость (см. задачу 10749), а из условия стационарности земной орбиты следует
$v_{0}^{2} = \frac{GM_{сол} }{R_{1} }$,
где $v_{0}$ - орбитальная скорость Земли.
Таким образом, $v^{2} = v_{1}^{2} + 2v_{0}^{2} + v^{ \prime 2}$, откуда $v = 47 км/сек$. Скорость корабля относительно Земли будет минимальной, когда он запущен в направлении орбитального движения Земли. Тогда
$v_{min} = v - v_{0} = 17 км/сек$.
Двигатели космического корабля прекращают работу где-то в районе Земли. Какую минимальную скорость должен набрать космический корабль, чтобы покинуть пределы Солнечной системы, имея «на выходе» скорость 16 км/сек относительно Солнца? Скорость Земли в ее орбитальном движении равна 30 км/сек.
Решение:
Обозначим через $v$ скорость космического корабля относительно Солнца в момент прекращения работы двигателей, а через $v^{ \prime}$ - его скорость «на выходе». Потенциальная энергия корабля обусловлена притяжением Земли и Солнца. Когда корабль находится около Земли, его потенциальная энергия равна
$- \frac{GMm}{R} - \frac{ GM_{сол}m}{R_{1}}$,
где $m, M$ и $M_{сол}$ - массы соответственно корабля, Земли и Солнца; $R$ - радиус Земли; $R_{1}$ - радиус земной орбиты, которую для простоты будем считать круговой.
Из закона сохранения энергии следует
$\frac{v^{2}}{2} = \frac{GM}{R} + \frac{GM_{сол} }{R_{1} } + \frac{v^{ \prime 2} }{2}$
Заметим, что
$\frac{GM}{R} = \frac{1}{2} v_{1}^{2}$,
где $v_{1}$ - вторая космическая скорость (см. задачу 10749), а из условия стационарности земной орбиты следует
$v_{0}^{2} = \frac{GM_{сол} }{R_{1} }$,
где $v_{0}$ - орбитальная скорость Земли.
Таким образом, $v^{2} = v_{1}^{2} + 2v_{0}^{2} + v^{ \prime 2}$, откуда $v = 47 км/сек$. Скорость корабля относительно Земли будет минимальной, когда он запущен в направлении орбитального движения Земли. Тогда
$v_{min} = v - v_{0} = 17 км/сек$.
