Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10748
2019-10-05 
а) Покажите, что площадь эллипса равна $\pi ab$.
б) Получите третий закон Кеплера для эллиптических орбит.
в) Покажите, что орбиты всех тел, у которых на единицу массы приходится одинаковая энергия, соответствуют равным периодам обращения. (Для простоты предполагайте, что $m \ll M$.)
Решение:
а) Эллипс можно получить из окружности радиусом $b$, если увеличить масштаб вдоль одной из осей координат в $a/b$ раз. При увеличении масштаба вдоль одной из осей площади фигур увеличиваются во столько же раз, поэтому площадь эллипса равна
$\pi b^{2} \frac{a}{b} = \pi ab$
($a$ - длина большой полуоси),
б) Вычислим скорость планеты в апогее (см. решение задачи 17447):
$\frac{mv_{A}^{2} }{2} - \frac{GMm}{a(1 + e)} = - \frac{GMm}{2a}$,
откуда
$v_{A}^{2} = \frac{GM}{a} \frac{1 - e}{1 + e}$.
Действуя далее, находим
$T^{2} = \frac{ (2 \pi)^{2} a^{3} }{GM}$
в) Используя результат задачи 10747, выразим длину большой полуоси орбиты через полную энергию и массу планеты:
$a = \frac{GM}{2} \frac{m}{|E|}$.
Подставляя ее, в формулу для периода, получаем
$T^{2} = \frac{(2 \pi )^{2} G^{2}M^{2} }{8} \left ( \frac{m}{|E|} \right )^{3}$.
Отсюда и следует утверждение, что орбиты всех тел, у которых на единицу массы приходится одинаковая энергия, соответствуют равным периодам обращения (период зависит только от отношения $m$ к $| E |$).
а) Покажите, что площадь эллипса равна $\pi ab$.
б) Получите третий закон Кеплера для эллиптических орбит.
в) Покажите, что орбиты всех тел, у которых на единицу массы приходится одинаковая энергия, соответствуют равным периодам обращения. (Для простоты предполагайте, что $m \ll M$.)
Решение:
а) Эллипс можно получить из окружности радиусом $b$, если увеличить масштаб вдоль одной из осей координат в $a/b$ раз. При увеличении масштаба вдоль одной из осей площади фигур увеличиваются во столько же раз, поэтому площадь эллипса равна
$\pi b^{2} \frac{a}{b} = \pi ab$
($a$ - длина большой полуоси),
б) Вычислим скорость планеты в апогее (см. решение задачи 17447):
$\frac{mv_{A}^{2} }{2} - \frac{GMm}{a(1 + e)} = - \frac{GMm}{2a}$,
откуда
$v_{A}^{2} = \frac{GM}{a} \frac{1 - e}{1 + e}$.
Действуя далее, находим
$T^{2} = \frac{ (2 \pi)^{2} a^{3} }{GM}$
в) Используя результат задачи 10747, выразим длину большой полуоси орбиты через полную энергию и массу планеты:
$a = \frac{GM}{2} \frac{m}{|E|}$.
Подставляя ее, в формулу для периода, получаем
$T^{2} = \frac{(2 \pi )^{2} G^{2}M^{2} }{8} \left ( \frac{m}{|E|} \right )^{3}$.
Отсюда и следует утверждение, что орбиты всех тел, у которых на единицу массы приходится одинаковая энергия, соответствуют равным периодам обращения (период зависит только от отношения $m$ к $| E |$).
