Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10747
2019-10-05 
Небольшое тело массы $m$ движется под влиянием гравитационного притяжения по эллиптической орбите вокруг массивного тела массы $M$. Тяжелое тело можно считать неподвижным. Большая полуось орбиты равна $a$, ее эксцентриситет равен $e$. Вычислите полную энергию тела $E$ (кинетическую плюс потенциальную). Обратите внимание на то, что результат не зависит от эксцентриситета.
Решение:
Поместим начало системы координат в фокус эллипса (там же находится масса $M$), а ось $x$ направим вдоль его большой оси. Полная энергия тела массы $m$, являющаяся суммой его кинетической и потенциальной энергий $E = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{GMm}{r}$, сохраняется и $E$ есть просто константа, не зависящая ни от времени, ни от $r$. Поэтому удобно вычислить ее для таких положений тела $m$, в которых его радиус-вектор и скорость особенно просто выражаются через параметры эллипса.
Такими положениями являются апогей и перигей, отмеченные точками А и Р на рисунке. Для них $r_{A} = a (1+e), r_{P} = a( 1-e)$. Скорости $v_{A}$ и $v_{P}$ перпендикулярны оси $x$ (так как они направлены по касательной к эллипсу). Кроме того, в соответствии со вторым законом Кеплера эти скорости связаны между собой соотношением
$v_{A}r_{A} = v_{P}r_{P}$.
Таким образом,
$E_{A} = \frac{mv_{A}^{2} }{2} - \frac{GMm}{a(1 + e)}$,
$E_{P} = \frac{mv_{p}^{2} }{2} - \frac{GMm}{a(1 - e)}$,
$v_{A}r_{A} = v_{P}r_{P}, E_{A} = E_{P}$,
откуда следует
$E = - \frac{GMm}{2a}$.
Небольшое тело массы $m$ движется под влиянием гравитационного притяжения по эллиптической орбите вокруг массивного тела массы $M$. Тяжелое тело можно считать неподвижным. Большая полуось орбиты равна $a$, ее эксцентриситет равен $e$. Вычислите полную энергию тела $E$ (кинетическую плюс потенциальную). Обратите внимание на то, что результат не зависит от эксцентриситета.
Решение:
Поместим начало системы координат в фокус эллипса (там же находится масса $M$), а ось $x$ направим вдоль его большой оси. Полная энергия тела массы $m$, являющаяся суммой его кинетической и потенциальной энергий $E = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{GMm}{r}$, сохраняется и $E$ есть просто константа, не зависящая ни от времени, ни от $r$. Поэтому удобно вычислить ее для таких положений тела $m$, в которых его радиус-вектор и скорость особенно просто выражаются через параметры эллипса.
Такими положениями являются апогей и перигей, отмеченные точками А и Р на рисунке. Для них $r_{A} = a (1+e), r_{P} = a( 1-e)$. Скорости $v_{A}$ и $v_{P}$ перпендикулярны оси $x$ (так как они направлены по касательной к эллипсу). Кроме того, в соответствии со вторым законом Кеплера эти скорости связаны между собой соотношением
$v_{A}r_{A} = v_{P}r_{P}$.
Таким образом,
$E_{A} = \frac{mv_{A}^{2} }{2} - \frac{GMm}{a(1 + e)}$,
$E_{P} = \frac{mv_{p}^{2} }{2} - \frac{GMm}{a(1 - e)}$,
$v_{A}r_{A} = v_{P}r_{P}, E_{A} = E_{P}$,
откуда следует
$E = - \frac{GMm}{2a}$.
