Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10743
2019-10-05 
Масса $M$ некоего сферического тела радиуса $R$ равномерно распределена по его объему. Каков гравитационный потенциал и напряженность гравитационного поля, создаваемого этим телом на разных расстояниях от его центра? Представьте результат графически.
Решение:
Разобьем все сферическое тело на большое число тонких слоев и проследим действие этих слоев на частицу массы $m$, находящуюся на расстоянии $r$ от центра тела. Если масса $m$ находится вне шарового слоя, то потенциальная энергия массы $m$ такова, как если бы вся масса слоя собралась в его центре. Если $r > R$, то масса $m$ является внешней по отношению ко всем слоям сферического тела, следовательно, ее потенциальная энергия $W$ такова, как если бы вся масса теЛа собралась в его центре, т. е.
$W = - \frac{GmM}{r}$.
Потенциал $\Psi$ гравитационного поля массы $M$ связан с энергией $W$ частицы $m$ в этом поле соотношением $W = m \Psi$, а с напряженностью $\vec{C}$ этого поля соотношением $\int \vec{C} d \vec{s} = - \Psi$
Поэтому в рассматриваемом случае $\Psi = - \frac{GM}{r}$, а напряженность $C = GM/r^{2}$ и направлена к центру сферы.
Если $r < R$, масса $m$ окажется внешней по отношению ко всем слоям, радиусы которых меньше $r$, и внутренней по отношению ко всем остальным слоям.
Поэтому потенциальная энергия массы $m$ состоит из двух членов $W_{1}$ и $W_{2}; W_{1}$ - потенциальная энергия по отношению к внешним слоям и равна
$\frac{1}{r} \left ( GM \left ( \frac{4}{3} \pi R^{3} \right )^{-1} \frac{4}{3} \pi r^{3}m \right ) = - \frac{GMmr^{2} }{R^{3} }$;
$W_{2}$ - потенциальная энергия массы $m$ по отношению к тем слоям, внутри которых она находится.
Рассмотрим отдельно один шаровой слой радиусом $r_{1}$ и толщиной $dr_{1}$. Потенциальная энергия тела $m$ по отношению к этому слою $dW^{ \prime}$ постоянна и равна
$d W^{ \prime} = - \frac{Gm dm^{ \prime} }{r_{1} }$,
где $dm^{ \prime} = \frac{4 \pi r_{1}^{2} dr_{1} }{ \frac{4}{3} \pi R^{3} }$ - масса шарового слоя, т. е.
$dW^{ \prime} = - \frac{3GmM}{R^{3} } r_{1}dr_{1}$.
Полную энергию массы $m$ по отношению ко всем внешним слоям найдем, проинтегрировав $dW^{ \prime}$ по всем слоям
$W_{2} = \int_{r}^{R} dW^{ \prime} = - \frac{3GmM}{R^{3} } \int_{r}^{R} r_{1}dr_{1} = - \frac{3}{2} \frac{GmM}{R^{3} } (R^{2} - r^{2} )$.
Таким образом, энергия тела $m$ внутри массы $M$ равна
$W_{1} + W_{2} = \frac{1}{2} \frac{GMm}{R^{3} } (r^{2} - 3R^{2} )$.
Отсюда легко получить потенциал и напряженность гравитационного поля внутри тела:
$\Psi = - \frac{3}{2} \frac{GM}{R} + \frac{GM}{2R^{2} } r^{2}$,
$C = \frac{GM}{R^{3} }r^{2}$.
Масса $M$ некоего сферического тела радиуса $R$ равномерно распределена по его объему. Каков гравитационный потенциал и напряженность гравитационного поля, создаваемого этим телом на разных расстояниях от его центра? Представьте результат графически.
Решение:
Разобьем все сферическое тело на большое число тонких слоев и проследим действие этих слоев на частицу массы $m$, находящуюся на расстоянии $r$ от центра тела. Если масса $m$ находится вне шарового слоя, то потенциальная энергия массы $m$ такова, как если бы вся масса слоя собралась в его центре. Если $r > R$, то масса $m$ является внешней по отношению ко всем слоям сферического тела, следовательно, ее потенциальная энергия $W$ такова, как если бы вся масса теЛа собралась в его центре, т. е.
$W = - \frac{GmM}{r}$.
Потенциал $\Psi$ гравитационного поля массы $M$ связан с энергией $W$ частицы $m$ в этом поле соотношением $W = m \Psi$, а с напряженностью $\vec{C}$ этого поля соотношением $\int \vec{C} d \vec{s} = - \Psi$
Поэтому в рассматриваемом случае $\Psi = - \frac{GM}{r}$, а напряженность $C = GM/r^{2}$ и направлена к центру сферы.
Если $r < R$, масса $m$ окажется внешней по отношению ко всем слоям, радиусы которых меньше $r$, и внутренней по отношению ко всем остальным слоям.
Поэтому потенциальная энергия массы $m$ состоит из двух членов $W_{1}$ и $W_{2}; W_{1}$ - потенциальная энергия по отношению к внешним слоям и равна
$\frac{1}{r} \left ( GM \left ( \frac{4}{3} \pi R^{3} \right )^{-1} \frac{4}{3} \pi r^{3}m \right ) = - \frac{GMmr^{2} }{R^{3} }$;
$W_{2}$ - потенциальная энергия массы $m$ по отношению к тем слоям, внутри которых она находится.
Рассмотрим отдельно один шаровой слой радиусом $r_{1}$ и толщиной $dr_{1}$. Потенциальная энергия тела $m$ по отношению к этому слою $dW^{ \prime}$ постоянна и равна
$d W^{ \prime} = - \frac{Gm dm^{ \prime} }{r_{1} }$,
где $dm^{ \prime} = \frac{4 \pi r_{1}^{2} dr_{1} }{ \frac{4}{3} \pi R^{3} }$ - масса шарового слоя, т. е.
$dW^{ \prime} = - \frac{3GmM}{R^{3} } r_{1}dr_{1}$.
Полную энергию массы $m$ по отношению ко всем внешним слоям найдем, проинтегрировав $dW^{ \prime}$ по всем слоям
$W_{2} = \int_{r}^{R} dW^{ \prime} = - \frac{3GmM}{R^{3} } \int_{r}^{R} r_{1}dr_{1} = - \frac{3}{2} \frac{GmM}{R^{3} } (R^{2} - r^{2} )$.
Таким образом, энергия тела $m$ внутри массы $M$ равна
$W_{1} + W_{2} = \frac{1}{2} \frac{GMm}{R^{3} } (r^{2} - 3R^{2} )$.
Отсюда легко получить потенциал и напряженность гравитационного поля внутри тела:
$\Psi = - \frac{3}{2} \frac{GM}{R} + \frac{GM}{2R^{2} } r^{2}$,
$C = \frac{GM}{R^{3} }r^{2}$.
