Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10741
2019-10-05 
Мировые рекорды в толкании ядра, метании диска и копья составляли в 1960 г. 19,40 , 59,96 и 86,09 м соответственно. Массы этих метательных снарядов равны соответственно 7,257, 1,99 и 0,806 кг. Округлите эти цифры и сравните работу, затраченную каждым спортсменом в рекордном броске для трех снарядов, предполагая каждый раз, что снаряд вылетает под углом $45^{ \circ}$ с уровня 1,8 м над землей. Сопротивлением воздуха пренебрегите.
Решение:
Работа $W$, затрачиваемая атлетом на каждый бросок, равна $mv^{2}/2$, где $m$-масса спортивного снаряда, a $v$-его начальная скорость. Таким образом, для вычисления $W$ необходимо найти $v$.
Обозначим через $S$ дальность полета снаряда. Как видно из рисунка, $S = S_{0} + S_{1}$, где $S_{0}$ - дальность полета снаряда, если бы он был брошен со скоростью $v$ с поверхности Земли, а $S_{1}$ - горизонтальная дальность полета из точки В до соприкосновения снаряда с Землей. Имеем
$S_{0} = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha }{g} = \frac{v^{2}}{g}$
(здесь учтено, что $\alpha = 45^{ \circ}$), a $S_{1}$ вычислим, рассматривая отдельно движение снаряда из точки В. Из закона сохранения энергии следует, что $\vec{v}_{B} = \vec{v}$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем) и что $\vec{v}_{B}$ направлена под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Поэтому $S_{1} = (v/ \sqrt{2} ) t$, где $t$ -время падения снаряда из точки В на Землю, которое определяется из уравнения
$h = \frac{v}{ \sqrt{2} } t + \frac{gt^{2} }{2}$.
Положительное решение этого квадратного (относительно $t$) уравнения есть
$t = \frac{- \sqrt{2}v + \sqrt{2v^{2} + 8gh } }{2g}$.
Таким образом,
$S_{1} = \frac{- v^{2} + v \sqrt{v^{2} + 2gh } }{2g}$ и $S = \frac{v^{2} + v \sqrt{v^{2} + 4gh }}{2g}$.
Из последнего соотношения выражаем $v^{2}$ через $S$ и $h$:
$v^{2} = \frac{gS^{2}}{S + h}$.
Следовательно, искомая работа
$W = \frac{m}{2} \frac{gS^{2} }{S + h}$.
Подставляя в это выражение массы ядра, диска и копья и дальности их полета, выпишем работу, затраченную спортсменами при рекордных бросках этих снарядов:
$W_{я} = 647 дж, W_{д} = 588 дж, W_{к} = 328 дж$.
Мировые рекорды в толкании ядра, метании диска и копья составляли в 1960 г. 19,40 , 59,96 и 86,09 м соответственно. Массы этих метательных снарядов равны соответственно 7,257, 1,99 и 0,806 кг. Округлите эти цифры и сравните работу, затраченную каждым спортсменом в рекордном броске для трех снарядов, предполагая каждый раз, что снаряд вылетает под углом $45^{ \circ}$ с уровня 1,8 м над землей. Сопротивлением воздуха пренебрегите.
Решение:
Работа $W$, затрачиваемая атлетом на каждый бросок, равна $mv^{2}/2$, где $m$-масса спортивного снаряда, a $v$-его начальная скорость. Таким образом, для вычисления $W$ необходимо найти $v$.
Обозначим через $S$ дальность полета снаряда. Как видно из рисунка, $S = S_{0} + S_{1}$, где $S_{0}$ - дальность полета снаряда, если бы он был брошен со скоростью $v$ с поверхности Земли, а $S_{1}$ - горизонтальная дальность полета из точки В до соприкосновения снаряда с Землей. Имеем
$S_{0} = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha }{g} = \frac{v^{2}}{g}$
(здесь учтено, что $\alpha = 45^{ \circ}$), a $S_{1}$ вычислим, рассматривая отдельно движение снаряда из точки В. Из закона сохранения энергии следует, что $\vec{v}_{B} = \vec{v}$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем) и что $\vec{v}_{B}$ направлена под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Поэтому $S_{1} = (v/ \sqrt{2} ) t$, где $t$ -время падения снаряда из точки В на Землю, которое определяется из уравнения
$h = \frac{v}{ \sqrt{2} } t + \frac{gt^{2} }{2}$.
Положительное решение этого квадратного (относительно $t$) уравнения есть
$t = \frac{- \sqrt{2}v + \sqrt{2v^{2} + 8gh } }{2g}$.
Таким образом,
$S_{1} = \frac{- v^{2} + v \sqrt{v^{2} + 2gh } }{2g}$ и $S = \frac{v^{2} + v \sqrt{v^{2} + 4gh }}{2g}$.
Из последнего соотношения выражаем $v^{2}$ через $S$ и $h$:
$v^{2} = \frac{gS^{2}}{S + h}$.
Следовательно, искомая работа
$W = \frac{m}{2} \frac{gS^{2} }{S + h}$.
Подставляя в это выражение массы ядра, диска и копья и дальности их полета, выпишем работу, затраченную спортсменами при рекордных бросках этих снарядов:
$W_{я} = 647 дж, W_{д} = 588 дж, W_{к} = 328 дж$.
