Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10737
2019-10-05 
Частица движется от точки (0, -1,0) в точку (0, +1,0) по абсолютно гладкому пути под действием той же, силы $\vec{F} = 1,5 y \vec{i} + 3x^{2} \vec{j} - 0,2(x^{2}+y^{2}) \vec{k}$ (плюс некоторая сила, удерживающая частицу и не дающая ей «сойти с пути»). Найдите работу, совершенную силой $\vec{F}$ для двух вариантов траектории:
а) прямая вдоль оси у,
б) окружность в плоскости z - у.
Является ли поле силы $\vec{F}$ консервативным?
Решение:
а) При перемещении частицы вдоль оси у работу совершает только y-компонента силы. Но $F_{y} = 3x^{2} = 0$ ($x = 0$ при движении вдоль оси у), поэтому и работа силы $\vec{F}$ равна нулю.
б) В этом случае нужно принимать во внимание только у-и z-компоненты силы $\vec{F}$, так как перемещение перпендикулярно оси х. Однако $F_{y} = 0$ ($x = 0$ для всех точек плоскости у-z), поэтому работа силы $\vec{F}$ равна
$W = \int_{M_{1} }^{M_{2} } F_{z}dz = -0,2 \int_{M_{1} }^{M_{2} } y^{2} dz$.
Как видно из рисунка, $z = \sin \phi, y = \cos \phi$, точке $M_{1}$ соответствует значение угла $\phi = \pi$, а точке $M_{2}$ - значение $\phi = 0$, поэтому
$W = - 0,2 \int_{ \pi}^{ 0} \cos^{2} \phi d \phi = - 0,2 \left [ \sin \phi - \frac{1}{3} \sin^{3} \phi \right ]_{ \phi = \pi}^{ \phi = 0} = 0$.
Однако это еще не означает, что сила $\vec{F}$ консервативна. Можно найти такие траектории частицы, для которых работа силы $\vec{F}$ не равна нулю. Например, если частица перемещается из точки $M_{1}$ в точку $M_{2}$ по окружности единичного радиуса, лежащей в плоскости х - у, работа силы $\vec{F}$ равна
$W = \int_{M_{1} }^{M_{2} } F_{x}dx + \int_{M_{1} }^{M_{2} } F_{y}dy = 3 \int_{-1}^{1} x^{2} dy = 3 \int_{-1}^{1} (1 - y^{2} ) dy = 4 дж$.
Таким образом, работа при перемещении частицы из точки (0, -1, 0) в точку (0, 1, 0) зависит от пути перемещения, поэтому поле силы $\vec{F}$ неконсервативно.
Частица движется от точки (0, -1,0) в точку (0, +1,0) по абсолютно гладкому пути под действием той же, силы $\vec{F} = 1,5 y \vec{i} + 3x^{2} \vec{j} - 0,2(x^{2}+y^{2}) \vec{k}$ (плюс некоторая сила, удерживающая частицу и не дающая ей «сойти с пути»). Найдите работу, совершенную силой $\vec{F}$ для двух вариантов траектории:
а) прямая вдоль оси у,
б) окружность в плоскости z - у.
Является ли поле силы $\vec{F}$ консервативным?
Решение:
а) При перемещении частицы вдоль оси у работу совершает только y-компонента силы. Но $F_{y} = 3x^{2} = 0$ ($x = 0$ при движении вдоль оси у), поэтому и работа силы $\vec{F}$ равна нулю.
б) В этом случае нужно принимать во внимание только у-и z-компоненты силы $\vec{F}$, так как перемещение перпендикулярно оси х. Однако $F_{y} = 0$ ($x = 0$ для всех точек плоскости у-z), поэтому работа силы $\vec{F}$ равна
$W = \int_{M_{1} }^{M_{2} } F_{z}dz = -0,2 \int_{M_{1} }^{M_{2} } y^{2} dz$.
Как видно из рисунка, $z = \sin \phi, y = \cos \phi$, точке $M_{1}$ соответствует значение угла $\phi = \pi$, а точке $M_{2}$ - значение $\phi = 0$, поэтому
$W = - 0,2 \int_{ \pi}^{ 0} \cos^{2} \phi d \phi = - 0,2 \left [ \sin \phi - \frac{1}{3} \sin^{3} \phi \right ]_{ \phi = \pi}^{ \phi = 0} = 0$.
Однако это еще не означает, что сила $\vec{F}$ консервативна. Можно найти такие траектории частицы, для которых работа силы $\vec{F}$ не равна нулю. Например, если частица перемещается из точки $M_{1}$ в точку $M_{2}$ по окружности единичного радиуса, лежащей в плоскости х - у, работа силы $\vec{F}$ равна
$W = \int_{M_{1} }^{M_{2} } F_{x}dx + \int_{M_{1} }^{M_{2} } F_{y}dy = 3 \int_{-1}^{1} x^{2} dy = 3 \int_{-1}^{1} (1 - y^{2} ) dy = 4 дж$.
Таким образом, работа при перемещении частицы из точки (0, -1, 0) в точку (0, 1, 0) зависит от пути перемещения, поэтому поле силы $\vec{F}$ неконсервативно.
