Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10734
2019-10-05 
а) Веревка, движущаяся с небольшой скоростью $v$, трется о цилиндрический столб (см. рисунок). Угол $\Delta \theta$ много меньше 1 рад. Если натяжение веревки с одной стороны столба равно $T + \Delta T$, а с другой $T$, то чему равна разность $\Delta T$, возникающая за счет трения?
б) Проинтегрируйте результат для $\Delta T$, полученный в пункте (а), и найдите отношение натяжений на двух концах веревки, которая заворачивается вокруг столба на конечный угол а и натянута так, что начинает проскальзывать.
Решение:
а) Если веревка подвинется вправо на расстояние $S$, то при этом будет выполнена работа $\Delta TS$. Эта работа должна равняться работе сил трения
$\Delta TS = F_{тр} S$,
откуда $\Delta T = F_{тр}$.
Но $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - сила нормального давления. Из рисунка видно, что
$N = 2T \sin \frac{ \Delta \theta}{2} = T \Delta \theta$
(мы пренебрегли при сложении сил величиной $\Delta T$ по сравнению с $T$). Таким образом,
$\Delta T = \mu T \Delta \theta$,
или для бесконечно малых углов
$\frac{dT}{T} = \mu d \theta$.
б) Интегрируя полученное в пункте (а) уравнение, находим
$\int_{T_{1} }^{T_{2} } \frac{dT}{T} = \mu \int_{0}^{ \alpha} d \theta$ и $ln \frac{T_{2} }{T_{1} } = \mu \alpha$,
так что
$\frac{T_{2} }{T_{1} } = e^{ \mu \alpha}$.
а) Веревка, движущаяся с небольшой скоростью $v$, трется о цилиндрический столб (см. рисунок). Угол $\Delta \theta$ много меньше 1 рад. Если натяжение веревки с одной стороны столба равно $T + \Delta T$, а с другой $T$, то чему равна разность $\Delta T$, возникающая за счет трения?
б) Проинтегрируйте результат для $\Delta T$, полученный в пункте (а), и найдите отношение натяжений на двух концах веревки, которая заворачивается вокруг столба на конечный угол а и натянута так, что начинает проскальзывать.
Решение:
а) Если веревка подвинется вправо на расстояние $S$, то при этом будет выполнена работа $\Delta TS$. Эта работа должна равняться работе сил трения
$\Delta TS = F_{тр} S$,
откуда $\Delta T = F_{тр}$.
Но $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - сила нормального давления. Из рисунка видно, что
$N = 2T \sin \frac{ \Delta \theta}{2} = T \Delta \theta$
(мы пренебрегли при сложении сил величиной $\Delta T$ по сравнению с $T$). Таким образом,
$\Delta T = \mu T \Delta \theta$,
или для бесконечно малых углов
$\frac{dT}{T} = \mu d \theta$.
б) Интегрируя полученное в пункте (а) уравнение, находим
$\int_{T_{1} }^{T_{2} } \frac{dT}{T} = \mu \int_{0}^{ \alpha} d \theta$ и $ln \frac{T_{2} }{T_{1} } = \mu \alpha$,
так что
$\frac{T_{2} }{T_{1} } = e^{ \mu \alpha}$.
