Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10732
2019-10-05 
Куб массы $M$ прислонен к стене в наклонном положении, как показано на рисунке. Между кубом и стеной трение отсутствует, но между кубом и полом оно есть, и величины коэффициента трения $\mu$ как раз еле хватает на то, чтобы куб не начал скользить. Если $0 < \theta < 45^{ \circ}$, найдите это минимальное значение коэффициента трения как функцию $\theta$. Проверьте свой ответ, рассмотрев предельные случаи $\theta \rightarrow 0$ и $\theta \rightarrow 45^{ \circ}$, и рассчитайте значение $\theta$, при котором $\mu = 1$.
Решение:
Пусть угол $\theta$ и коэффициент трения $\mu$ таковы, что куб, предоставленный сам себе, начинает скользить. При этом изменение его потенциальной энергии (за счет опускания ц. м.) окажется больше работы силы трения: за счет этой разницы и появляется кинетическая энергия у куба. Ясно, что в положении, когда силы трения едва хватает, чтобы удержать куб, изменение потенциальной энергии при (воображаемом) небольшом смещении куба будет как раз равно работе силы трения. Как видно из рисунка, высота ц. м. куба равна $h = \frac{l}{ \sqrt{2}} \cos (45^{ \circ} - \theta )$ ($l$ - длина ребра куба), а расстояние от .яижнего ребра до стенки $x = l \cos \theta$.
Если угол $\theta$ уменьшился на величину $\Delta \theta$, то уменьшение потенциальной энергии куба равно
$mg \frac{l}{ \sqrt{2} } \sin (45^{ \circ} - \theta ) \Delta \theta$,
а работа силы трения равна $\mu Nl \sin \theta \Delta \theta$, где $N$ - сила давления куба на пол. Если угол $\theta$ такой, что куб все-таки не движется, то $N = mg$ (сумма сил, действующих на куб, должна быть равна нулю). Итак,
$mg \frac{l}{ \sqrt{2} } \sin (45^{ \circ} - \theta ) = \mu mgl \sin \theta$,
или
$tg \theta = \frac{1}{1 + 2 \mu}$.
Проверим, насколько разумен наш ответ. Предположим, что угол $\theta$ очень мал. Ясно, чт.о в этом случае нужно очень большое трение, чтобы удержать куб от скольжения. Это видно и из нашей формулы (при $\theta \rightarrow 0 \mu \rightarrow \infty$). Если $\theta = 45^{ \circ}$, куб балансирует на нижнем ребре и нужна очень маленькая сила со стороны стенки и соответственно очень маленькая сила трения, чтобы удержать его (при $\theta = 45^{ \circ} \mu = 0$). Наконец, если $\mu = 1$, куб будет в равновесии при $\theta = 18^{ \circ} 30^{ \prime}$.
Куб массы $M$ прислонен к стене в наклонном положении, как показано на рисунке. Между кубом и стеной трение отсутствует, но между кубом и полом оно есть, и величины коэффициента трения $\mu$ как раз еле хватает на то, чтобы куб не начал скользить. Если $0 < \theta < 45^{ \circ}$, найдите это минимальное значение коэффициента трения как функцию $\theta$. Проверьте свой ответ, рассмотрев предельные случаи $\theta \rightarrow 0$ и $\theta \rightarrow 45^{ \circ}$, и рассчитайте значение $\theta$, при котором $\mu = 1$.
Решение:
Пусть угол $\theta$ и коэффициент трения $\mu$ таковы, что куб, предоставленный сам себе, начинает скользить. При этом изменение его потенциальной энергии (за счет опускания ц. м.) окажется больше работы силы трения: за счет этой разницы и появляется кинетическая энергия у куба. Ясно, что в положении, когда силы трения едва хватает, чтобы удержать куб, изменение потенциальной энергии при (воображаемом) небольшом смещении куба будет как раз равно работе силы трения. Как видно из рисунка, высота ц. м. куба равна $h = \frac{l}{ \sqrt{2}} \cos (45^{ \circ} - \theta )$ ($l$ - длина ребра куба), а расстояние от .яижнего ребра до стенки $x = l \cos \theta$.
Если угол $\theta$ уменьшился на величину $\Delta \theta$, то уменьшение потенциальной энергии куба равно
$mg \frac{l}{ \sqrt{2} } \sin (45^{ \circ} - \theta ) \Delta \theta$,
а работа силы трения равна $\mu Nl \sin \theta \Delta \theta$, где $N$ - сила давления куба на пол. Если угол $\theta$ такой, что куб все-таки не движется, то $N = mg$ (сумма сил, действующих на куб, должна быть равна нулю). Итак,
$mg \frac{l}{ \sqrt{2} } \sin (45^{ \circ} - \theta ) = \mu mgl \sin \theta$,
или
$tg \theta = \frac{1}{1 + 2 \mu}$.
Проверим, насколько разумен наш ответ. Предположим, что угол $\theta$ очень мал. Ясно, чт.о в этом случае нужно очень большое трение, чтобы удержать куб от скольжения. Это видно и из нашей формулы (при $\theta \rightarrow 0 \mu \rightarrow \infty$). Если $\theta = 45^{ \circ}$, куб балансирует на нижнем ребре и нужна очень маленькая сила со стороны стенки и соответственно очень маленькая сила трения, чтобы удержать его (при $\theta = 45^{ \circ} \mu = 0$). Наконец, если $\mu = 1$, куб будет в равновесии при $\theta = 18^{ \circ} 30^{ \prime}$.
