Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10723
2019-09-14 
Чему равны величина и направление ускорения Луны:
а) в новолуние?
б) в первую четверть?
в) в полнолуние?
Примечание. Расстояние от Земли до Солнца равно $1,5 \cdot 10^{8} км$, расстояние от Земли до Луны $3,85 \cdot 10^{ 5} км$, масса Солнца составляет $3,33 \cdot 10^{5}$ земных масс.
Решение:
На рисунке схематически показано и отмечено цифрами I, II, III положение Луны в новолуние, первую четверть и полнолуние.
Рассмотрим движение Луны относительно Земли. Будем считать, что вокруг Земли Луна движется по круговой орбите, поэтому ее ускорение всегда направлено по радиусу орбиты к Земле.
Величина этого ускорения равна
$a_{л} = \frac{v^{2}}{R_{л}} = \frac{4 \pi^{2}R_{л}}{T_{л}^{2} }$
где $R_{л}$ - расстояние от Земли до Луны, а $T_{л}$ - период обращения Луны.
В задаче 10646 было показано, что
$\left ( \frac{T_{л} }{T_{з} } \right )^{2} = \left ( \frac{R_{л} }{R_{з} } \right )^{3} \frac{M_{с} }{M_{з} }$,
($T_{з}$ - период обращения Земли вокруг Солнца, $R_{з}$ - расстояние от Земли до Солнца, а $M_{з}$ и $M_{с}$ - массы Земли и Солнца).
Учитывая это, находим
$a_{л} = \frac{4 \pi^{2} }{T_{з}^{2} } \frac{R_{з}^{3} }{R_{л}^{2} } \frac{M_{з} }{M_{с} } \approx 0,27 см/сек^{2}$.
Двигаясь вместе с Землей по круговой орбите вокруг Солнца, Луна обладает еще одним центростремительным ускорением, направленным по радиусу к Солнцу, величиной
$a_{з} = \frac{4 \pi^{2} }{T_{з}^{2} } R_{з} \approx 0,60 см/сек^{2}$
(здесь мы пренебрегли $R_{л}$ но сравнению с $R_{з}$). Таким образом, результирующее ускорение Луны по отношению к Солнцу в любой момент времени равно $\vec{a} = \vec{a}_{л} + \vec{a}_{з}$. Поэтому
$a_{I} = a_{з} - a_{л} = 0,33 см/сек^{2}$ (направлено к Солнцу),
$a_{II} = \sqrt{a_{з}^{2} - a_{л}^{2}} = 0,66 см/сек^{2}$ (направлено под углом а к линии Луна-Солнце, причем $tg \alpha = a_{л}/a_{з} =0,45, \alpha = 24^{ \circ}13^{ \prime}$);
$a_{III} = a_{з} + a_{л} = 0,87 см/сек^{2}$ (направлено к Солнцу),
Чему равны величина и направление ускорения Луны:
а) в новолуние?
б) в первую четверть?
в) в полнолуние?
Примечание. Расстояние от Земли до Солнца равно $1,5 \cdot 10^{8} км$, расстояние от Земли до Луны $3,85 \cdot 10^{ 5} км$, масса Солнца составляет $3,33 \cdot 10^{5}$ земных масс.
Решение:
На рисунке схематически показано и отмечено цифрами I, II, III положение Луны в новолуние, первую четверть и полнолуние.
Рассмотрим движение Луны относительно Земли. Будем считать, что вокруг Земли Луна движется по круговой орбите, поэтому ее ускорение всегда направлено по радиусу орбиты к Земле.
Величина этого ускорения равна
$a_{л} = \frac{v^{2}}{R_{л}} = \frac{4 \pi^{2}R_{л}}{T_{л}^{2} }$
где $R_{л}$ - расстояние от Земли до Луны, а $T_{л}$ - период обращения Луны.
В задаче 10646 было показано, что
$\left ( \frac{T_{л} }{T_{з} } \right )^{2} = \left ( \frac{R_{л} }{R_{з} } \right )^{3} \frac{M_{с} }{M_{з} }$,
($T_{з}$ - период обращения Земли вокруг Солнца, $R_{з}$ - расстояние от Земли до Солнца, а $M_{з}$ и $M_{с}$ - массы Земли и Солнца).
Учитывая это, находим
$a_{л} = \frac{4 \pi^{2} }{T_{з}^{2} } \frac{R_{з}^{3} }{R_{л}^{2} } \frac{M_{з} }{M_{с} } \approx 0,27 см/сек^{2}$.
Двигаясь вместе с Землей по круговой орбите вокруг Солнца, Луна обладает еще одним центростремительным ускорением, направленным по радиусу к Солнцу, величиной
$a_{з} = \frac{4 \pi^{2} }{T_{з}^{2} } R_{з} \approx 0,60 см/сек^{2}$
(здесь мы пренебрегли $R_{л}$ но сравнению с $R_{з}$). Таким образом, результирующее ускорение Луны по отношению к Солнцу в любой момент времени равно $\vec{a} = \vec{a}_{л} + \vec{a}_{з}$. Поэтому
$a_{I} = a_{з} - a_{л} = 0,33 см/сек^{2}$ (направлено к Солнцу),
$a_{II} = \sqrt{a_{з}^{2} - a_{л}^{2}} = 0,66 см/сек^{2}$ (направлено под углом а к линии Луна-Солнце, причем $tg \alpha = a_{л}/a_{з} =0,45, \alpha = 24^{ \circ}13^{ \prime}$);
$a_{III} = a_{з} + a_{л} = 0,87 см/сек^{2}$ (направлено к Солнцу),
