Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10722
2019-09-14 
Используйте векторную алгебру для нахождения расстояния по дуге большого круга между двумя точками земной поверхности, долгота и широта которых равны соответственно $( \lambda_{1}, \phi_{1})$ и $( \lambda_{2}, \phi_{2})$.
Примечание. Используйте прямоугольную систему координат с началом в центре Земли. Одну ось этой системы направьте вдоль земной оси, другую - в направлении, определяемом углами $\lambda = 0, \phi = 0$, а третью - под углами $\lambda = 0, \phi =90^{ \circ}$. (Долгота пусть меняется от 0 до $360^{ \circ}$ с востока на запад.)
Решение:
Рассмотрим точку А на земной поверхности с координатами $\lambda_{1}$ и $\phi_{1}$. Проведем из начала прямоугольной системы координат (выбранной так, как указано в примечании к условию задачи) радиус-вектор в точку А и найдем его компоненты:
$\vec{r}_{A} = R \cos \lambda_{1} \cos \phi_{1} \vec{i} + R \cos \lambda_{1} \sin \phi_{1} \vec{j} + R \sin \lambda_{1} \vec{k}$,
где $R$ - радиус Земли.
Аналогично, для другой точки с угловыми координатами ($\lambda_{2}, \phi_{2}$) имеем
$\vec{r}_{B} = R \cos \lambda_{2} \cos \phi_{2} \vec{i} + R \cos \lambda_{2} \sin \phi_{2} \vec{j} + R \sin \lambda_{2} \vec{k}$.
Длина дуги большого круга $S_{AB}$, проходящего через рассматриваемые точки, равна $\Phi R$, где $\Phi$ - угол между векторами $\vec{r}_{A}$ и $\vec{r}_{B}$. Этот угол найдем, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{r}_{A}$ и $\vec{r}_{B}$:
$\vec{r}_{A} \cdot \vec{r}_{B} = R^{2} \cos \Phi$,
откуда
$\cos \Phi = \frac{ \vec{r}_{A} \cdot \vec{r}_{B} }{R^{2} }$.
С другой стороны,
$\vec{r}_{A} \cdot \vec{r}_{B} = R^{2} ( \cos \lambda_{1} \cos \phi_{1} \cos \lambda_{2} \cos \phi_{2} + \cos \alpha_{1} \sin \phi_{1} \cos \lambda_{2} \sin \phi_{2} + \sin \alpha_{1} \sin \alpha_{2}) = R^{2}( \cos \alpha_{1} \cos \alpha _{2} \cos ( \phi_{1} - \phi_{2} ) + \sin \lambda_{1} \sin \lambda_{2} )$.
Поэтому
$\cos \Phi = \cos \lambda_{1} \cos \lambda_{2} \cos ( \phi_{1} - \phi_{2}) + \sin \lambda_{1} sin \lambda_{2}$
и
$S_{AB} = R arccos [ \cos \lambda_{1} \cos \lambda_{2} \cos ( \phi_{1} - \phi_{2}) + \sin \lambda_{1} \sin \lambda_{2}]$.
Используйте векторную алгебру для нахождения расстояния по дуге большого круга между двумя точками земной поверхности, долгота и широта которых равны соответственно $( \lambda_{1}, \phi_{1})$ и $( \lambda_{2}, \phi_{2})$.
Примечание. Используйте прямоугольную систему координат с началом в центре Земли. Одну ось этой системы направьте вдоль земной оси, другую - в направлении, определяемом углами $\lambda = 0, \phi = 0$, а третью - под углами $\lambda = 0, \phi =90^{ \circ}$. (Долгота пусть меняется от 0 до $360^{ \circ}$ с востока на запад.)
Решение:
Рассмотрим точку А на земной поверхности с координатами $\lambda_{1}$ и $\phi_{1}$. Проведем из начала прямоугольной системы координат (выбранной так, как указано в примечании к условию задачи) радиус-вектор в точку А и найдем его компоненты:
$\vec{r}_{A} = R \cos \lambda_{1} \cos \phi_{1} \vec{i} + R \cos \lambda_{1} \sin \phi_{1} \vec{j} + R \sin \lambda_{1} \vec{k}$,
где $R$ - радиус Земли.
Аналогично, для другой точки с угловыми координатами ($\lambda_{2}, \phi_{2}$) имеем
$\vec{r}_{B} = R \cos \lambda_{2} \cos \phi_{2} \vec{i} + R \cos \lambda_{2} \sin \phi_{2} \vec{j} + R \sin \lambda_{2} \vec{k}$.
Длина дуги большого круга $S_{AB}$, проходящего через рассматриваемые точки, равна $\Phi R$, где $\Phi$ - угол между векторами $\vec{r}_{A}$ и $\vec{r}_{B}$. Этот угол найдем, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{r}_{A}$ и $\vec{r}_{B}$:
$\vec{r}_{A} \cdot \vec{r}_{B} = R^{2} \cos \Phi$,
откуда
$\cos \Phi = \frac{ \vec{r}_{A} \cdot \vec{r}_{B} }{R^{2} }$.
С другой стороны,
$\vec{r}_{A} \cdot \vec{r}_{B} = R^{2} ( \cos \lambda_{1} \cos \phi_{1} \cos \lambda_{2} \cos \phi_{2} + \cos \alpha_{1} \sin \phi_{1} \cos \lambda_{2} \sin \phi_{2} + \sin \alpha_{1} \sin \alpha_{2}) = R^{2}( \cos \alpha_{1} \cos \alpha _{2} \cos ( \phi_{1} - \phi_{2} ) + \sin \lambda_{1} \sin \lambda_{2} )$.
Поэтому
$\cos \Phi = \cos \lambda_{1} \cos \lambda_{2} \cos ( \phi_{1} - \phi_{2}) + \sin \lambda_{1} sin \lambda_{2}$
и
$S_{AB} = R arccos [ \cos \lambda_{1} \cos \lambda_{2} \cos ( \phi_{1} - \phi_{2}) + \sin \lambda_{1} \sin \lambda_{2}]$.
