Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10721
2019-09-14 
Частица с массой 1 кг движется так, что ее положение в любой момент времени определяется радиусом-вектором
$\vec{r} = t \vec{i} + \left ( t + \frac{t^{2}}{2} \right ) \vec{j} - \left ( \frac{4}{ \pi^{2} } \right ) \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k}$.
а) Определите положение, скорость, ускорение и кинетическую энергию частицы в моменты времени $t=0$ и $t = 1 сек$.
б) Получите выражение для силы, которая заставляет частицу двигаться.
в) Найдите радиус кривизны траектории частицы в момент времени $t =1 сек$.
Решение:
Если радиус-вектор частицы со временем меняется по закону
$\vec{r}(t) = t \vec{i} \left ( t + \frac{t^{2} }{2} \right ) \vec{j} - \left ( \frac{4}{ \pi^{2} } \right ) \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k} м$,
то скорость ее есть
$\vec{v}(t) = \dot{ \vec{r}}(t) = \vec{i} (1 + t) \vec{j} - \frac{2}{ \pi} \cos \pi \frac{t}{2} \vec{k} м/сек$
а ускорение
$\vec{a}(t) = \ddot{ \vec{r}} (t) = \vec{j} + \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k} м/сек^{2}$.
а) В момент времени $t = 0$
$\vec{r}(0) = 0, \vec{v}(0) = \vec{i} + \vec{j} - \frac{2}{ \pi} \vec{k} м/сек$,
$\vec{a}(0) = \vec{j} м/сек^{2}, T = \frac{mv^{2} }{2} = \left ( 1 + \frac{2}{ \pi^{2} } \right ) дж \approx 1,2 дж$.
В момент времени $t = 1$
$\vec{r}(1) = \vec{i} + \frac{3}{2} \vec{j} - \frac{4}{ \pi^{2} } \vec{k} м, \vec{v}(1) = \vec{i} + 2 \vec{j} м/сек$,
$\vec{a}(1) = \vec{j} + \vec{k} м/сек^{2}, Е = \frac{5}{2} дж$.
б) Действующую на частицу силу находим из уравнения движения:
$\vec{F} = m \vec{a} = \vec{j} + \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k} ньютон$.
в) Радиус кривизны траектории определяется как $R = v^{2}/a_{ \perp}$. В нашем случае $v^{2} = 1 + (1 + t)^{2} + \left ( \frac{2}{ \pi^{2}} \right )^{2} \cos^{2} \pi \frac{t}{2}$; дифференцируя по $t$, получаем
$2v \frac{dv}{dt} = 2va_{ \parallel} = 2 (1 + t) - \left ( \frac{2}{ \pi} \right ) \cos \pi \frac{t}{2} \sin \pi \frac{t}{2}$.
В момент времени $t = 1$
$v = \sqrt{5} м/сек, a_{ \parallel} = \frac{2}{ \sqrt{5} } м/сек^{2}$,
$a = \sqrt{2} м/сек^{2}, a_{ \perp} = \sqrt{a^{2} - a_{ \parallel}^{2}} = \sqrt{ \frac{6}{5} } м/сек^{2}$.
Таким образом,
$R = \frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{6} } м \approx 4,6 м$.
Частица с массой 1 кг движется так, что ее положение в любой момент времени определяется радиусом-вектором
$\vec{r} = t \vec{i} + \left ( t + \frac{t^{2}}{2} \right ) \vec{j} - \left ( \frac{4}{ \pi^{2} } \right ) \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k}$.
а) Определите положение, скорость, ускорение и кинетическую энергию частицы в моменты времени $t=0$ и $t = 1 сек$.
б) Получите выражение для силы, которая заставляет частицу двигаться.
в) Найдите радиус кривизны траектории частицы в момент времени $t =1 сек$.
Решение:
Если радиус-вектор частицы со временем меняется по закону
$\vec{r}(t) = t \vec{i} \left ( t + \frac{t^{2} }{2} \right ) \vec{j} - \left ( \frac{4}{ \pi^{2} } \right ) \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k} м$,
то скорость ее есть
$\vec{v}(t) = \dot{ \vec{r}}(t) = \vec{i} (1 + t) \vec{j} - \frac{2}{ \pi} \cos \pi \frac{t}{2} \vec{k} м/сек$
а ускорение
$\vec{a}(t) = \ddot{ \vec{r}} (t) = \vec{j} + \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k} м/сек^{2}$.
а) В момент времени $t = 0$
$\vec{r}(0) = 0, \vec{v}(0) = \vec{i} + \vec{j} - \frac{2}{ \pi} \vec{k} м/сек$,
$\vec{a}(0) = \vec{j} м/сек^{2}, T = \frac{mv^{2} }{2} = \left ( 1 + \frac{2}{ \pi^{2} } \right ) дж \approx 1,2 дж$.
В момент времени $t = 1$
$\vec{r}(1) = \vec{i} + \frac{3}{2} \vec{j} - \frac{4}{ \pi^{2} } \vec{k} м, \vec{v}(1) = \vec{i} + 2 \vec{j} м/сек$,
$\vec{a}(1) = \vec{j} + \vec{k} м/сек^{2}, Е = \frac{5}{2} дж$.
б) Действующую на частицу силу находим из уравнения движения:
$\vec{F} = m \vec{a} = \vec{j} + \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k} ньютон$.
в) Радиус кривизны траектории определяется как $R = v^{2}/a_{ \perp}$. В нашем случае $v^{2} = 1 + (1 + t)^{2} + \left ( \frac{2}{ \pi^{2}} \right )^{2} \cos^{2} \pi \frac{t}{2}$; дифференцируя по $t$, получаем
$2v \frac{dv}{dt} = 2va_{ \parallel} = 2 (1 + t) - \left ( \frac{2}{ \pi} \right ) \cos \pi \frac{t}{2} \sin \pi \frac{t}{2}$.
В момент времени $t = 1$
$v = \sqrt{5} м/сек, a_{ \parallel} = \frac{2}{ \sqrt{5} } м/сек^{2}$,
$a = \sqrt{2} м/сек^{2}, a_{ \perp} = \sqrt{a^{2} - a_{ \parallel}^{2}} = \sqrt{ \frac{6}{5} } м/сек^{2}$.
Таким образом,
$R = \frac{5 \sqrt{5} }{ \sqrt{6} } м \approx 4,6 м$.
