Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10715
2019-09-14 
Движущаяся частица испытывает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей равной массы. Покажите, что после соударения частицы разлетаются под прямым углом.
При анализе двухчастичных столкновений полезно использовать следующий подход:
1) Найдите $\vec{v}_{ц.м.}$, т. е. скорость системы ц. м.
2) Вычтите $\vec{v}_{ц.м.}$ из $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ (скорости первой и второй частиц до столкновения), чтобы получить начальные скорости в системе ц. м., т. е. $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$.
3) Импульсы обеих частиц теперь равны по величине и противоположны по направлению.
4) Происходит столкновение, в результате которого:
а) поворачивается линия относительно движения частиц 1 и 2;
б) абсолютные величины векторов $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$ увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными в зависимости от того, выделяется, поглощается или остается неизменной энергия в процессе столкновения.
5) Прибавьте $v_{ц.м.}$ к скоростям $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$ в системе ц. м. после соударения. Получатся скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ после столкновения в «лабораторной» системе.
Решение:
Пусть $\vec{v}$ - скорость налетающей частицы. Найдем $\vec{v}_{ц.м.}$:
$v_{ц.м.} = \frac{m \vec{v} }{2m} = \frac{ \vec{v} }{2}$.
Начальные скорости частиц в системе ц. м. равны $\vec{v}_{1}^{ \prime} = \vec{v}/2$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime} = - \vec{v}/2$.
После абсолютно упругого столкновения скорости частиц в системе ц. м. остаются прежними по величине ($u_{1}^{ \prime} = u_{2}^{ \prime} = v/2$), но линия относительного движения поворачивается. Чтобы перейти к л-системе координат, нужно прибавить к векторам $\vec{u}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{u}_{2}^{ \prime}$ вектор $v_{ц.м.}$. Соответствующее построение приведено на рисунке. Так как $ BC = AC = CD$, через точки А, В и D можно провести окружность с центром в точке С. Следовательно, угол BAD-прямой (как вписанный угол, опирающийся на диаметр). Этот же результат можно получить и вычислениями. Пусть $\vec{u}_{1}^{ \prime}$ образует угол $\alpha$ с осью $x$. Тогда
$\vec{u}_{1}^{ \prime} = \frac{v}{2} \cos \alpha \vec{i} + \frac{v}{2} \sin \alpha \vec{j}$,
а
$\vec{u}_{2}^{ \prime} = - \frac{v}{2} \cos \alpha \vec{i} - \frac{v}{2} \sin \alpha \vec{j}$,
($\vec{u}_{2}$ образует угол $\pi + \alpha$ с осью x).
В л-системе
$\vec{u}_{1} = \frac{v}{2} \cos \alpha \vec{i} + \frac{v}{2} (1 + \sin \alpha) \vec{j}$ и $\vec{u}_{2} = - \frac{v}{2} \cos \alpha \vec{i} + \frac{v}{2} ( 1 - \sin \alpha) \vec{j}$.
Теперь легко убедиться, что $\vec{u}_{1} \vec{u}_{2} = 0$, откуда следует, что векторы $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ перпендикулярны друг другу.
Приведем также другое решение, при котором не нужно переходить в систему ц. м. Из закона сохранения импульса имеем
$\vec{v} = \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2}$.
Возводя обе части этого равенства в квадрат
$v^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + 2 \vec{u}_{1} \vec{u}_{2}$
и вычитая из получившегося соотношения другое равенство, следствие закона сохранения энергии $v^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}$, находим $\vec{u}_{1} \vec{u}_{2} = 0$, т. е. векторы $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ перпендикулярны друг другу.
Движущаяся частица испытывает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей равной массы. Покажите, что после соударения частицы разлетаются под прямым углом.
При анализе двухчастичных столкновений полезно использовать следующий подход:
1) Найдите $\vec{v}_{ц.м.}$, т. е. скорость системы ц. м.
2) Вычтите $\vec{v}_{ц.м.}$ из $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ (скорости первой и второй частиц до столкновения), чтобы получить начальные скорости в системе ц. м., т. е. $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$.
3) Импульсы обеих частиц теперь равны по величине и противоположны по направлению.
4) Происходит столкновение, в результате которого:
а) поворачивается линия относительно движения частиц 1 и 2;
б) абсолютные величины векторов $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$ увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными в зависимости от того, выделяется, поглощается или остается неизменной энергия в процессе столкновения.
5) Прибавьте $v_{ц.м.}$ к скоростям $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$ в системе ц. м. после соударения. Получатся скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ после столкновения в «лабораторной» системе.
Решение:
Пусть $\vec{v}$ - скорость налетающей частицы. Найдем $\vec{v}_{ц.м.}$:
$v_{ц.м.} = \frac{m \vec{v} }{2m} = \frac{ \vec{v} }{2}$.
Начальные скорости частиц в системе ц. м. равны $\vec{v}_{1}^{ \prime} = \vec{v}/2$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime} = - \vec{v}/2$.
После абсолютно упругого столкновения скорости частиц в системе ц. м. остаются прежними по величине ($u_{1}^{ \prime} = u_{2}^{ \prime} = v/2$), но линия относительного движения поворачивается. Чтобы перейти к л-системе координат, нужно прибавить к векторам $\vec{u}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{u}_{2}^{ \prime}$ вектор $v_{ц.м.}$. Соответствующее построение приведено на рисунке. Так как $ BC = AC = CD$, через точки А, В и D можно провести окружность с центром в точке С. Следовательно, угол BAD-прямой (как вписанный угол, опирающийся на диаметр). Этот же результат можно получить и вычислениями. Пусть $\vec{u}_{1}^{ \prime}$ образует угол $\alpha$ с осью $x$. Тогда
$\vec{u}_{1}^{ \prime} = \frac{v}{2} \cos \alpha \vec{i} + \frac{v}{2} \sin \alpha \vec{j}$,
а
$\vec{u}_{2}^{ \prime} = - \frac{v}{2} \cos \alpha \vec{i} - \frac{v}{2} \sin \alpha \vec{j}$,
($\vec{u}_{2}$ образует угол $\pi + \alpha$ с осью x).
В л-системе
$\vec{u}_{1} = \frac{v}{2} \cos \alpha \vec{i} + \frac{v}{2} (1 + \sin \alpha) \vec{j}$ и $\vec{u}_{2} = - \frac{v}{2} \cos \alpha \vec{i} + \frac{v}{2} ( 1 - \sin \alpha) \vec{j}$.
Теперь легко убедиться, что $\vec{u}_{1} \vec{u}_{2} = 0$, откуда следует, что векторы $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ перпендикулярны друг другу.
Приведем также другое решение, при котором не нужно переходить в систему ц. м. Из закона сохранения импульса имеем
$\vec{v} = \vec{u}_{1} + \vec{u}_{2}$.
Возводя обе части этого равенства в квадрат
$v^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + 2 \vec{u}_{1} \vec{u}_{2}$
и вычитая из получившегося соотношения другое равенство, следствие закона сохранения энергии $v^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2}$, находим $\vec{u}_{1} \vec{u}_{2} = 0$, т. е. векторы $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$ перпендикулярны друг другу.
