Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10713
2019-09-14 
Обобщите результаты задач 10701 и 10704 на трехмерное движение, используя векторную символику. Введите обозначение $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i}$.
Решение:
а) Пусть имеется $n$ тел с массами $m_{1}, \cdots , m_{n}$ и скоростями $\vec{v}_{1}, \cdots, \vec{v}_{n}$. В системе ц. м. эти скорости соответственно равны $\vec{v}_{1} - \vec{v}_{ц.м.}, \cdots , \vec{v}_{n} - \vec{v}_{ц.м.}$. По определению,
$m_{1}( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{ц.м.}) + \cdots + m_{n} ( \vec{v}_{n} - \vec{v}_{ц.м.}) = 0$,
откуда
$\vec{v}_{ц.м.} = \frac{ \sum_{ i = 1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i} }{ \sum_{i=1}^{n} m_{i} } = \frac{1}{M} \sum_{i =1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}$.
б) Обозначим через $\vec{v}_{1}^{ \prime}, \cdots , \vec{v}_{n}^{ \prime}$ скорости тел в системе ц. м. Тогда $\vec{v}_{1} = \vec{v}_{1}^{ \prime} + v_{ц.м.}, \cdots, \vec{v}_{n} = \vec{v}_{n}^{ \prime} + v_{ц.м.}$ суть скорости тел в неподвижной системе координат. Кинетическая энергия в этой системе
$T = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \cdots + \frac{m_{n}v_{n}^{2} }{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} ( \vec{v}_{i}^{ \prime} + \vec{v}_{ц.м.} )^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{ n} m_{i}v_{i}^{ \prime 2} + \frac{1}{2} v_{ц.м.}^{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} + \vec{v}_{ц.м.} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}^{ \prime}$
Но по определению ц. м.
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}^{ \prime} = 0$, a $\frac{1}{a} \sum_{i = 1}^{n} m_{i}v_{i}^{ \prime 2} = T_{ц.м.}$
есть кинетическая энергия тел в системе ц. м., поэтому
$T = T_{ц.м.} + \frac{v_{ц.м.}^{2} }{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} = T_{ц.м.} + \frac{1}{2} Mv_{ц.м.}^{2}$.
Обобщите результаты задач 10701 и 10704 на трехмерное движение, используя векторную символику. Введите обозначение $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i}$.
Решение:
а) Пусть имеется $n$ тел с массами $m_{1}, \cdots , m_{n}$ и скоростями $\vec{v}_{1}, \cdots, \vec{v}_{n}$. В системе ц. м. эти скорости соответственно равны $\vec{v}_{1} - \vec{v}_{ц.м.}, \cdots , \vec{v}_{n} - \vec{v}_{ц.м.}$. По определению,
$m_{1}( \vec{v}_{1} - \vec{v}_{ц.м.}) + \cdots + m_{n} ( \vec{v}_{n} - \vec{v}_{ц.м.}) = 0$,
откуда
$\vec{v}_{ц.м.} = \frac{ \sum_{ i = 1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i} }{ \sum_{i=1}^{n} m_{i} } = \frac{1}{M} \sum_{i =1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}$.
б) Обозначим через $\vec{v}_{1}^{ \prime}, \cdots , \vec{v}_{n}^{ \prime}$ скорости тел в системе ц. м. Тогда $\vec{v}_{1} = \vec{v}_{1}^{ \prime} + v_{ц.м.}, \cdots, \vec{v}_{n} = \vec{v}_{n}^{ \prime} + v_{ц.м.}$ суть скорости тел в неподвижной системе координат. Кинетическая энергия в этой системе
$T = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \cdots + \frac{m_{n}v_{n}^{2} }{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} ( \vec{v}_{i}^{ \prime} + \vec{v}_{ц.м.} )^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{ n} m_{i}v_{i}^{ \prime 2} + \frac{1}{2} v_{ц.м.}^{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} + \vec{v}_{ц.м.} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}^{ \prime}$
Но по определению ц. м.
$\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}^{ \prime} = 0$, a $\frac{1}{a} \sum_{i = 1}^{n} m_{i}v_{i}^{ \prime 2} = T_{ц.м.}$
есть кинетическая энергия тел в системе ц. м., поэтому
$T = T_{ц.м.} + \frac{v_{ц.м.}^{2} }{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} = T_{ц.м.} + \frac{1}{2} Mv_{ц.м.}^{2}$.
