Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10708
2019-09-14 
Колесо радиуса $R$ катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Колесо расположено в вертикальной плоскости, а ось его движется горизонтально с постоянной скоростью $v$ относительно поверхности. Вычислите величину и направление скорости произвольной точки на ободе колеса. Убедитесь, что скорости точек на ободе таковы, как если бы колесо вращалось вокруг мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения колеса с горизонтальной поверхностью.
Решение:
Можно считать, что произвольная точка М колеса участвует в двух движениях: равномерном со скоростью $v$ вдоль оси х и вращательном вокруг центра колеса с угловой скоростью $\omega = v/R$. Пусть в начальный момент времени $t = 0$ радиус-вектор точки М направлен под углом $\phi_{0}$ к оси х. Находим координаты $x$ и $y$ точки М в произвольный момент времени $t$:
$x = vt + R \cos ( \phi_{0} + \omega t)$,
$y = - R \sin ( \phi_{0} + \omega t)$.
Компоненты скорости точки М найдем, дифференцируя по времени выражения для координат:
$v_{x} = v - R \omega \sin ( \phi_{0} + \omega t) = R \omega [1 - \sin ( \phi_{0} + \omega t)]$,
$v_{y} = - R \omega \cos ( \phi_{0} + \omega t)$.
Вектор скорости есть
$\vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j}$.
Будем считать, что в момент времени $t$ точка М занимает положение, указанное на рисунке, а колесо соприкасается с горизонтальной поверхностью в точке А. Очевидно,
$\vec{r}_{M} = x \vec{i} + y \vec{j}$, a $\vec{r}_{A} = vt \vec{i} - R \vec{j}$.
Проведем вектор $\vec{r}$ из точки касания А в точку М. Тогда
$\vec{r} = \vec{r}_{M} - \vec{r}_{A} = R \cos ( \phi_{0} + \omega t) \vec{i} + R [1 - \sin ( \phi_{0} + \omega t)] \vec{j}$.
Непосредственными вычислениями убеждаемся в том, что скалярное произведение $\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$ (т. е. скорость точки М направлена перпендикулярно вектору $\vec{r}$), а
$v = \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \omega \sqrt{ r_{x}^{2} + r_{y}^{2}} = \omega r$,
Поскольку точка колеса М произвольна, полученный результат означает, что движение колеса в любой момент времени эквивалентно «чистому» вращению колеса с угловой скоростью $\omega$ вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку соприкосновения колеса с горизонтальной плоскостью в тот же момент времени.
Колесо радиуса $R$ катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Колесо расположено в вертикальной плоскости, а ось его движется горизонтально с постоянной скоростью $v$ относительно поверхности. Вычислите величину и направление скорости произвольной точки на ободе колеса. Убедитесь, что скорости точек на ободе таковы, как если бы колесо вращалось вокруг мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения колеса с горизонтальной поверхностью.
Решение:
Можно считать, что произвольная точка М колеса участвует в двух движениях: равномерном со скоростью $v$ вдоль оси х и вращательном вокруг центра колеса с угловой скоростью $\omega = v/R$. Пусть в начальный момент времени $t = 0$ радиус-вектор точки М направлен под углом $\phi_{0}$ к оси х. Находим координаты $x$ и $y$ точки М в произвольный момент времени $t$:
$x = vt + R \cos ( \phi_{0} + \omega t)$,
$y = - R \sin ( \phi_{0} + \omega t)$.
Компоненты скорости точки М найдем, дифференцируя по времени выражения для координат:
$v_{x} = v - R \omega \sin ( \phi_{0} + \omega t) = R \omega [1 - \sin ( \phi_{0} + \omega t)]$,
$v_{y} = - R \omega \cos ( \phi_{0} + \omega t)$.
Вектор скорости есть
$\vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j}$.
Будем считать, что в момент времени $t$ точка М занимает положение, указанное на рисунке, а колесо соприкасается с горизонтальной поверхностью в точке А. Очевидно,
$\vec{r}_{M} = x \vec{i} + y \vec{j}$, a $\vec{r}_{A} = vt \vec{i} - R \vec{j}$.
Проведем вектор $\vec{r}$ из точки касания А в точку М. Тогда
$\vec{r} = \vec{r}_{M} - \vec{r}_{A} = R \cos ( \phi_{0} + \omega t) \vec{i} + R [1 - \sin ( \phi_{0} + \omega t)] \vec{j}$.
Непосредственными вычислениями убеждаемся в том, что скалярное произведение $\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$ (т. е. скорость точки М направлена перпендикулярно вектору $\vec{r}$), а
$v = \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \omega \sqrt{ r_{x}^{2} + r_{y}^{2}} = \omega r$,
Поскольку точка колеса М произвольна, полученный результат означает, что движение колеса в любой момент времени эквивалентно «чистому» вращению колеса с угловой скоростью $\omega$ вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку соприкосновения колеса с горизонтальной плоскостью в тот же момент времени.
